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2024-2025学年江苏省东台市高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，不共线，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离( )
A. B. C. D.
7.在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.若的三个内角均小于，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.已知复数，，下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则的最小值为
D.
11.如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点不含端点，且，，为垂足，记，，下列说法正确的有( )
A. 的周长大于 B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足为虚数单位，则复数的共轭复数 ．
13.已知，则 ．
14.若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位．
求为何值时，为纯虚数；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
16.本小题分
设为实数，已知向量，．
若，求的值；
设，向量与的夹角为，求的大小．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及对称中心；
若函数在区间上的值域为，求的取值范围．
18.本小题分
在中，已知为边上一点，满足，．
若，，求的面积；
若，求的长．
19.本小题分
在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，．
求的大小；
若，求；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为为纯虚数，
所以，解得；
复数在复平面内对应的点为，
依题意，解得，即的取值范围为．

16.向量，，由，得，
所以．
依题意，，由，得，解得，
因此，，，，，
则，而，
所以．

17.因为
，
所以函数的最小正周期；
令，，解得，．
所以的对称中心为．
当时，，
又，，且在上单调递减，在上单调递增，
因为在的值域为，
所以，解得，
即的取值范围为．

18.因为，，所以，且，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以，解得负值已舍去，
所以

因为为上一点，满足，
所以，所以，
因为，所以，
所以，又，所以；


19.由正弦定理得，，
得，
得，
因为，所以，
得，得，
得，即，
因为，所以．
如图：
连接，并延长交为点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
而，
得，
得，
即，
因为，所以，
即，
由余弦定理得，，而，
得，
故，得，
故．
由知，，
得，而，
得，
故，
令，得，
得，
由正弦定理得，
得，
故
，
由知，，则，而是锐角三角形，
有，解得，
则，得，
即，
即，
因为，
所以，
而，
因为，
所以
故的取值范围为：

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