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2024-2025学年江西省萍乡市高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若满足，则的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
5.在中，若，则的面积等于( )
A. B. C. D.
6.在矩形中，为的中点，为的中点，设，则( )
A. B. C. D.
7.下列关于函数的说法，不正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 点为其图象的一个对称中心 D. 定义域为
8.已知在等腰中，，点为的中点，于，点为线段的中点，点为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则满足不等式成立的的集合有( )
A. B. C. D.
10.已知的内角所对的边分别为，其面积为，若，则下列说法正确的有( )
A. 若，则有两组解
B. 若，则有一组解
C. 若，则边的中线长为
D. 若，则边的中线长为
11.在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则根据上述结论，下列说法正确的有( )
A. 若是的重心，则
B. 若是的内心，则
C. 若，则
D. 若是的外心，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量则 ；在上的投影向量的坐标为 ．
13.萍乡是秋收起义策源地，年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于月日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜如图，两点相距米，与秋收起义纪念碑底部不可到达的底部在同一水平直线上，利用高为米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度 米
14.若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简；
若，求．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，向量与共线，求的值．
17.本小题分
已知函数图象的一条对称轴和与其相邻的一个对称中心之间的距离为，且的图像过点．
若是奇函数，求的最小值；
令，记在区间上的零点从小到大依次为，求的值．
18.本小题分
如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的速度为，，，．
乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？
若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义运算“”：．
若向量满足，求的值；
在平面直角坐标系中，若，用表示，并化简：若点，求的值；
若向量，求的最小值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.因为．
由．
所以．
16.由可得，
因，则，故，
则得，故．
由题意，，
因向量与共线，故，即，
两边取平方，，
因，解得，
则
17.依题意，函数的最小正周期满足，即，解得，
把点代入中，可得，因，则，
故函数解析式为．
因是奇函数，故，
则有，解得，
故当时，取得最小值．
由，可得，
设，由可得，
则在区间上的零点个数即函数与函数在区间上的交点个数．
作出其图象如下：

由图知，两者共有个交点，即，这些交点的横坐标依次为，
根据图象的对称性，可知，
则，
因，代入可得：
，
解得，
即．
18.设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为，则，即，
由余弦定理，，
即，
因二次函数的对称轴为，开口向上，
故当时，甲乙两游客之间的距离最短．
因，则为锐角，则，
在中，由正弦定理，，则，
依题意，乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达，
设乙步行的速度为，由题意可得：，解得，
所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在单位：范围之内．
19.由，得，又，则，
而，则，
所以．
由，得，
则，
，
所以；
由，得，
所以．
向量，，
，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．

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