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2024-2025学年重庆市九校联盟高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
2.某人计划星期一外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别是，若当天是晴天就乘飞机，否则就坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为，则此人能准时到达的概率为( )
A. B. C. D.
3.某物体运动时，位移米与时间秒之间的关系式为：，且，则该物体在秒末的瞬时速度为( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 无法确定
4.有一项抽奖活动．在一个不透明的纸箱中，放着个质地、大小完全相同的小球，球上写着“”、“”、“”、“”、“”，分别对应得分：，，，，学生从中有放回地任取一个球，记下得分．设事件“第一次得分”，事件“第二次得分”，则( )
A. B. C. D.
5.用数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中比大的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，对任意，都有，若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量，，且，的分布列如下：
若，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 平面内有任意三点不共线的个点，可以组成条线段
B. 从名男生，名女生中选出名参加一项活动，至少一名女生被选中共有种选法
C. 将名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有种分配方法
D. 将个相同的小球，放入编号为，，的盒子中，每个盒子至少放个球共有种放法
11.函数，下列说法正确的是( )
A. 若函数在上是增函数，则
B. 若函数在处取得极大值，则
C. 若，则函数在闭区间上的最大值为
D. 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.今有甲、乙、丙、丁、戊、己名学生站成一排拍照，要求甲乙相邻，且丙在丁的左边，则符合要求的排法共有 种．
13.在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为：的概率为 ．
14.若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
若函数，求在上的值域．
16.本小题分
已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为，其中实数为常数．
求的值；
若展开式中二项式系数最大的项的系数为，求的值；
当时，求展开式中含项的系数．
17.本小题分
已知．
讨论的单调性；
若，且函数有三个零点，求的取值范围．
18.本小题分
某学校组织了网络安全知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学回答次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列；
若小明先回答类问题，当为何值时累计得分的期望最大？
19.本小题分
已知．
若有且只有一个极值点，求的取值范围；
当时，若函数的极值点为，求证：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由题，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，又在上恒成立，所以，即
所以实数的取值范围．
由题，
所以，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以函数最大值为，最小值为．
所以函数的值域为．

16.解：由题可得．
由可知展开式中二项式系数最大值为，为展开式中第项，
而，所以即，
当时，展开式中含有的项为，
所以展开式中含项的系数为．

17.解：因为的定义域为，且，
当时，恒成立，
当且仅当时等号成立，所以在上单调递减；
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
若，由得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于，且，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大，
因为函数有三个零点，则方程有三个根，
所以函数与直线有三个交点，
又，由图可知：，即的取值范围为．

18.解：由题可得，
且，，，，
所以的分布列为
设累计得分为，则，
且，，，，
所以累计得分的期望为
，
因为，，
所以当时，累计得分的期望最大为．

19.解：易知的定义域为，，
若有且只有一个极值点，则可知仅有一个变号零点，
令，则，
由可得；
显然当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
因此在处取得极小值，也是最小值，，
且时，，当时，，其图象如下图所示：
依题意可得仅有一个实数根，也即与仅有一个交点，
结合图象可知或，解得或；
经检验可知，当时，仅有一个非变号零点，不合题意，舍去；
即的取值范围为
当时，可得，
此时，
结合可知，函数存在唯一极值点，且，即；
可得，将两边取对数可得，即
代入可得
，
当却仅当时，即时等号成立，
显然不满足，因此等号不成立，
所以．

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