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2024-2025学年云南省昆明市第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是( )
A. 和是函数的两个零点
B. 函数的单调递增区间为
C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值
D. 函数的最大值为，最小值为
3.已知首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.从甲队人、乙队人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取人，进行一轮答题相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为，方差为乙队答对题目的平均数为，方差为，则这人答对题目的方差为( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是( )
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是
6.函数是( )
A. 偶函数，且最小值为 B. 偶函数，且最大值为
C. 周期函数，且在上单调递增 D. 非周期函数，且在上单调递减
7.已知函数有个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是( )
A. B. C. D.
10.已知圆，是直线上一动点，过点作直线，分别与圆相切于点，，则( )
A. 圆与直线相离 B. 存在最小值
C. 存在最大值 D. 存在点使得为直角三角形
11.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且，则( )
A. B. 的取值范围为
C. 的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.若方程在上的解为，则 ．
14.现有编号为，，，，的个相同的袋子，每个袋中均装有个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有个红球，个白球当时，从编号为的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为数列的前项和，且满足：．
设，证明是等比数列；
求．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，，为的中点，为棱上一点，平面．
求证：为中点；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
设，讨论函数的单调性．
18.本小题分
某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为．
计算王同学第二天去餐厅用餐的概率；
王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供种西式点心，种中式点心，王同学从这些点心中选择种点心，记选择西式点心的种数为，求的最大值，并求此时的值．
19.本小题分
已知椭圆的焦点分别别为的上下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
求椭圆的方程；
已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为，，则，
两式相减得：，整理可得，即，
于是，，
所以数列是等比数列．
由知，，又，则
所以．
16.平面，平面，平面平面，
，又因为，
四边形为平行四边形，且因为为的中点，
，
为中点．
根据勾股定理可知，，且，
再根据勾股定理可得，故，
又因为，，平面，
所以平面，
如图建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，
，，，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17.，，，
当时，，
切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：．
，，
，，，，
当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间．
当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上：时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
18.设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”，
“第二天去餐厅用餐”，
根据题意得，
由全概率公式，得：，
所以，王同学第二天去餐厅用餐的概率为．
由题意，的可能取值有：，，，，
由超几何分布可知，
令，若最大，则，
即，解得，
又，所以，
易知当和时，的值相等，
所以当或时，有最大值为，
即当的值为或时，使得最大．
19.设，则，所以．
设椭圆的方程为，即，
，
为正三角形，
过且垂直于的直线与交于两点，为线段的垂直平分线，
直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，代入椭圆方程，
整理化简得到：，
判别式，
．
，所以．
故椭圆的方程为．
设因为，
所以，即，
又因为点均在椭圆上，所以
两式整理，可得，，
由除以可得，消元可得
同理可得
所以直线的方程为，
又，
所以直线的方程为，故直线过定点．

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