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2024-2025学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2.的展开式共( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
3.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为( )
A. B. C. D.
4.若能被整除，则，的一组值可能为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.现将西游记、红楼梦、水浒传、三国演义、史记、资治通鉴本不同的书籍分发给甲乙丙人，每人至少分得本，已知西游记分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. B. C. D.
6.从编号分别为，，，的张卡片中任意抽取张，将它们的编号从小到大依次记为，则且的概率是 ．
A. B. C. D.
7.已知，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
8.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图，某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图所示的六棱锥该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶的六个顶点，，，，，，现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点与处挂同一种形状的风铃的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则( )
A. 有个极值点 B. 是的极大值点
C. 是的极大值点 D. 在上单调递减
10.一袋中有个红球，个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取个球，事件“这个球都是红球”，事件“这个球中至少有个红球”，事件“这个球中至多有个红球”，则下列判断正确的是( )
A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为
C. 事件发生的概率为 D.
11.已知函数有四个零点，，，，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知，，则 ．
13.已知函数，则不等式的解集为 ．
14.已知的二项展开式中各项的二项式系数之和为，则展开式中的常数项等于 ．
15.已知，，则使不等式恒成立的正整数的最大值为__ __．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解下列方程或不等式：
；
．
17.本小题分
从、、等人中选出人排成一排．
必须在内，有多少种排法？
、、都在内，且在前，在后，有多少种排法？
不允许站排头和排尾，不允许站在中间第三位，有多少种排法？
18.本小题分
已知函数．
若时，，求的最小值；
若时，判断曲线是否为中心对称图形？若是，试求出对称中心．
19.本小题分
已知函数．
若，证明：：
若，都有，求实数的取值范围．
20.本小题分
观看篮球比赛一直受到广大高中生喜爱．
某职业球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率；
“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加，求乙在第三次投中的概率答案请用小数表示．
21.本小题分
定义：，其中．
化简求值：；
求证：当时，；
对于任意正整数，是否存在正整数，使得不等式恒成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由组合数的性质，可得，且，
即，则，
整理得，解得或，
又因为，即，所以．
解：由不等式，
可得，
化简得，解得，
又因为且，所以，
所以原不等式的解集是．

17.解：先从余下的人中选人共有种不同结果，
再将这人与进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法；
因，，都在内，所以只需从余下人中选人有种不同结果，
，，相对顺序确定，共有种不同排法；
分四类：第一类：所选的人无、，共有种排法；
第二类：所选的人有、无，共有种排法；
第三类：所选的人无、有，共有种排法；
第四类：所选的人有、，若排中间时，有种排法，
若不排中间时，有种排法，
共有种排法；
综上，共有种不同排法．

18.解：由函数，可得的定义域为．
当时，函数，可得，
因为，所以，当且仅当，等号成立，
又因为，可得，解得，
所以的最小值为．
解：当时，由函数，
则函数的定义域关于对称，
且
所以曲线是中心对称图形，对称中心为点．

19.解：证明：若，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故；
不妨设，所以，即，
所以函数在上单调递增，
令在上恒成立，
令．
当时，在上恒成立，又，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，此种情况无解，
当时，在上单调递增，，
在上恒成立，
综上所述，的取值范围为．

20.解：设事件为“甲选择投两分球”，事件为“甲选择投三分球”，事件为“甲投篮命中”，则球员甲每次投篮命中的概率．
解：设事件为“乙在第次投篮命中”，其中，
则，，，
所以，
，
，
，
所以乙在第三次投中的概率为．

21.解：由题意知：，
所以．
解：设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以当时，，当且仅当时取等号．
解：由可得，当且仅当时取等号，
所以当，时，，
可得，
所以，则，
当时，，
所以，当时，，时，，
时，
所以，所以的最小值为．

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