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2024-2025学年广东省江门市广雅中学等校高二下学期4月期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有个，高铁的车次有个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.现有一组数据，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
4.若函数有极值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.某中学位任课老师和班上名学生站成一排，则位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为( )
A. B. C. D.
6.已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是( )
A. B.
C. D.
7.若，，是圆上不同的三点，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数为奇函数，且的导函数的图象关于点对称，，且，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知点，点在曲线上，则( )
A. 曲线由虚轴长相等的两条双曲线组成
B. 存在无数个点，使得
C. 存在无数个点，使得
D. 存在个点，使得
11.下列判断正确的是( )
A. 方程有两个不同的实数解
B. 方程的正整数解共有组
C. 方程有唯一实数解
D. 方程的非负整数解共有组
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
13.将个，个，个与个随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词的概率为 ．
14.九章算术商功中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求；
若函数，求曲线在点处的切线方程．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求；
求的通项公式，并证明为等差数列；
若，求．
17.本小题分
已知名运动员中有人只擅长篮球，人只擅长足球，另外人篮球与足球都擅长．
若从这名运动员中选派人，求这人都擅长足球的选派方法种数；
若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；
从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人有人擅长篮球，有人擅长足球，求满足条件的选派方法种数．
18.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的取值范围；
讨论的单调性；
若在上有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知曲线，直线．
若，判断直线与曲线公共点的个数；
已知直线与曲线相交于两点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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4.
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12.
13.
14.
15.函数，求导得，
所以．
函数，，
求导得，则，
所以曲线在点处的切线方程为．

16.令可得：，
即
由，
可得：，
两式相减可得：，，
当时，不满足，
所以的通项公式为
令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：。
所以为等差数列；
由知，当时，
，
所以

17.设只擅长篮球的人设为组，只擅长足球的人设为组，
篮球与足球都擅长的人设为组，
若选出的人均来自组，有种方法，
若选出的人均来自组，有种方法，
若选出的人均人来自组，人来自组，有种方法，
故这人都擅长足球的选派方法有种；
将组的人先全排列，有种方法，人共形成个空，
再将组的人去插空，有种方法，
故共有种方法；
若选出的人中无组人员，
则选派方法有种，
若选出的人中有人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出人，组选出人，共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出人，组选出人，共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将其归为擅长篮球人员，
则再从组选出人，共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将其归为擅长足球人员，
则再从组选出人，共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将人归为擅长篮球人员，人归为擅长足球人员，
则再从组选出人，则再从组选出人，
共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将其中人归为擅长篮球人员，将人归为擅长足球人员，
再从组选出人，共种方法，
若选出的人中有人来自组，并将其中人归为擅长足球人员，将人归为擅长篮球人员，
则再从再从组选出人，共种方法，
综上，满足条件的方法共种

18.解：依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是．
由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增．
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意．
当时，要使得在上有个零点，
则，即，
且
设函数，
则，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以．
由，得．
即的取值范围为．

19.令，则．
由，得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
则，从而直线与曲线的公共点个数为．
解：令，则．
由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，
则，且当时，，当时，．
因为直线与曲线相交于两点，所以，
得，故的取值范围为．
证明：由题可知是的零点不妨设，则，
从而要证，只需证，
即证由可知在上单调递减，
则需证．
因为，所以需证，即证．
令，则．
因为，当且仅当时，等号成立，所以在上恒成立，
则在上单调递增，则，
从而，证毕．

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