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2024-2025学年河北省石家庄二中教育集团高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的为( )
A. B. C. D.
2.随机变量的分布列为为常数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为( )
A. B.
C. 有三个零点 D. 有三个极值点
4.用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.今年春节，哪吒、唐探、之重启未来和射雕英雄传：侠之大者这四部影片引爆了电影市场．小明和他的同学一行四人决定去看电影，若小明要看哪吒，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为( )
A. B. C. D.
7.若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列结论正确的为( )
A. 当时，在处取得极大值
B. 当时，有且只有两个零点
C. 若恒成立，则
D. 若恒成立，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从含有道代数题和道几何题的道试题中随机抽取道题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回，则( )
A. “第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”相互独立
B. “第次抽到代数题”与“第次抽到几何题”是互斥事件
C. “第次抽到代数题且第次抽到几何题”的概率是
D. “在抽到有代数题的条件下，两道题都是代数题”的概率是
10.已知，则下列说法正确的为( )
A. B.
C. D.
11.已知函数有四个零点，则( )
A.
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数为 ．
13.某学校有两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为，则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为 ．
14.已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求函数在上的最大值和最小值其中是自然对数的底数．
16.本小题分
已知二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，且第项，第项，第项的系数成等差数列．
求和的值；
当，，时，若恰好能被整除，求的最小值．
17.本小题分
我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为和，且球员每场比赛犯规次以上的概率为．
求甲班第二场比赛获胜的概率；
用表示比赛结束时比赛场数，求的分布列；
已知球员在第一场比赛中犯规次以上，求甲班比赛获胜的概率．
18.本小题分
已知函数．
若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
若，且有两个极值点，其中，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
讨论函数极值点的个数；
设，若且对任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.，的定义域为．
，
由，得，由，得，
在上单调递增，在上单调递减．
由得在上单调递增，在上单调递减，
在上的最大值为．
又 ，，．
在上的最小值为．
在上的最大值为，最小值为．

16.解：因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以；
因为二项式展开式的通项公式为
且，
所以第项，第项，第项的系数分别为，，，
由，又，
所以，
解得或；
因为，由得，
当时，，
因为
，
且恰好能被整除，
所以，．
因为，所以的最小值为．

17.设为“第场甲队获胜“，为“球员第场上场比赛“，，，，
根据全概率公式可得；
由题意可得，，
又，由知，
，，
，
，
所以的分布列为：
，此时，
所求概率为：．

18.的定义域为，
在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
；
即
由题意，
有两个极值点，
为方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，，
，，
又，解得，
，
设，
则，
在上单调递减，
又，，
，
即的取值范围为．

19.；
令，则；令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当，即时，恒成立，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
有且仅有一个极值点；
当，即时，，当时，，
，，使得；又，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在，上单调递增，
有、和三个极值点；
综上所述：当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点．
由知：当时，在上单调递减，在上单调递增；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
，则；
又，由得：，
在上恒成立；
，，
令，由得：，，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，即的取值范围为．

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