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2024-2025学年湖南省衡阳市祁东县第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的值是( )
A. B. C. D.
2.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了个志愿服务小组，分配到个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在个大门进行服务，则不同的分配方法种数为( )
A. B. C. D.
3.已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.现从男、女共名学生中选出名男生和名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
8.已知函数有个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则( )
A. 恰好有件是不合格品的抽取方法有种
B. 恰好有件是不合格品的抽取方法有种
C. 至少有件是不合格品的抽取方法有种
D. 至少有件是不合格品的抽取方法有种
10.已知函数，则( )
A. 的极大值为
B. 曲线在处的切线为轴
C. 的最小值为
D. 在定义域内单调
11.已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 在上单调递增，在上单调递减
B.
C. 函数只有个零点
D. 存在实数，使得方程有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点的切线方程为 ．
13.中国北京第届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有 种要求：用数字填空，用式子填空不给分
14.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求，的值
当时，求的最大值．
16.本小题分
在的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中所有的有理项；
求展开式中系数最大的项．
17.本小题分
某城镇在规划的一工业园区内架设一条千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需万元，搭建距离为千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万元．
试写出关于的函数关系式．
问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费有最小值？最小值是多少？参考数据：
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间和极值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设．
讨论在上的单调性；
令，试证明在上有且仅有三个零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，则，
由题意可得：，解得
当时，则，，
当或时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则函数在处取得极小值，符合题意，
所以．
因为，由可知：在内单调递减，在内单调递增，
且，即，
所以当时，求的最大值为．

16.解：由题意知：，
则第项的系数为，倒数第项的系数为，
则有即，
．
由可得，
当时所有的有理项为，
即，
，
，
．
设展开式中第项的系数最大，
则
，，
故系数最大项为．
17.解：由题意知，需要新建的高压线塔为座．
所以，
即．
由，得，
令得或舍去．
由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增．
所以当时，函数取得最小值，
且，
此时应建高压线塔为座．
故需建座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为万元．
18.由题意知函数，故
故，
故曲线在点处的切线方程为；
由可知：令，解得，
故的单调递减区间为；
令，解得，
故的单调递增区间为；
则为函数的极小值点，则函数极小值为，无极大值；
在上恒成立，
即，此时，即在上恒成立，
令，则，
故在上单调递增；
故，
故．

19.解： ，
令，则，或，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
证明：，则，
故是的一个零点，
，
是偶函数，
要确定在上的零点个数只需确定时，的零点个数即可，
当时， ，
令，即，，
时，，单调递减，，
时，，单调递增，，
在有唯一零点．
当 时，由于，，，
而在 单调递增，，故恒成立，
故在 无零点，
在有一个零点，
由于是偶函数，则在只有一个零点，而，
故 在上有且仅有三个零点．
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