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2024-2025学年广东省广州市执信中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知角终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为( )
A. B. C. D.
5.如图，正方形中，是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在三棱柱中，若点，分别满足，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
8.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是复数，则下列说法正确的是( )
A. 若复数，，则
B. 若复数，则复数在复平面内对应的点在第三象限
C. 若复数是纯虚数，则实数
D. 若，则
10.已知中，，则( )
A. 若，则有两解
B. 若是钝角三角形，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 的最大值是
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 关于对称 D. 的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知一个底面半径为的圆锥的侧面积与半径为的球的表面积相等，则圆锥侧面展开图的圆心角为______．
14.在中，是边的中点，是线段的中点设，，若，的面积为，则当 ______时，取得最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
若，求实数的值．
若与垂直，求实数的值．
求向量模的最小值．
16.本小题分
由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点．
求证：平面；
求证：平面平面；
设平面与底面的交线为，求证：．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
求；
如图，点为边上一点，，，求的面积．
18.本小题分
已知函数其中，，的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为．
求函数的解析式并用“五点法”作出函数在的图象简图；
将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值；
利用上一问的结果，若对任意的，，恒有，求的取值范围．
19.本小题分
现有长度分别为，，，的线段各条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为的三角形或四边形．
求出所有可能的三角形的面积．
如图，在平面凸四边形中，，，，．
当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值．
当时，所在平面内是否存在点，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：因为，，，
所以，，
又，
所以，
解得：；
由题可得，，，
因为与垂直，
所以，
解得：；
由题可得，，
所以
，
所以当时，最小，最小模为：．
16.证明：取的中点，连接，，
是直四棱柱，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
且，且，
且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由得平面，
，、平面，
平面平面．
由得，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
17.解：由及正弦定理，得，
因为，所以，即，
又，
所以，即，
因为，所以．
设，
因为，
所以，，
在中，由余弦定理，得，
所以，解得舍负，
所以，
在中，因为，所以，
所以，
所以，
所以．
18.解：设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，
则，，即，，因，
故得，即，
取函数在一个周期上的五点列表如下：
在直角坐标系中作图如下：
依题意是偶函数，
故，解得，，即，，
因，则得，则时，取得最小值为．
由分析可得，因，则，
结合余弦函数的性质可得，
故得，，
因对任意的．，
恒有成立，故得，
解得或，
即的取值范围为．
19.解：根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，
所有可能符合情况的三角形的三边长为，，和，，，
当三角形三边为，，时，由余弦定理知，
等腰三角形顶角的余弦值，则，
所以；
当三角形三边为，，时，由余弦定理知，
等腰三角形顶角的余弦值，则，
则；
连接，由余弦定理知：
，
，
，，
，，
又，
，
又，，
，
故
，
当且仅当时，，取得最大值，
此时，，
，解得，，
则，解得；
假设存在符合条件的点，由，可得，
如图，把绕点逆时针旋转，
则，，连接，
显然为等边三角形，则，，，
，
，
当且仅当，，，共线时取得最小值，
此时，
故的最小值为．
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