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河南省洛阳市2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论正确的是( )
A. 若与都是单位向量，则
B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量
C. 直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D. 若与是平行向量，则
2.三个平面可将空间分成部分，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，则的周长为( )
A. B. C. D.
5.在中，点是边的中点，点是的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，满足，，则点，，依次是的( )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心
7.在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，则当最大时，等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. ，的夹角为 D. 向量在向量上的投影向量为
10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. “”是“”的充要条件
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则为锐角三角形
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B. 存在点，使得平面平面
C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则______．
13.已知复数，，并且，则的取值范围______．
14.已知直三棱柱中，，且若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，其中，且在复平面上对应的点在第一象限．
求复数；
若复数，求的共轭复数．
16.本小题分
已知向量，满足，，．
求向量与的夹角；
求证：；
求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，且，，，四点共面．
求证：底面为梯形；
是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求角的大小；
若，设为的中点，且，求的周长．
19.本小题分
已知圆锥的底面半径，高．
求此圆锥的表面积；
若圆锥在球内，求球的表面积的最小值；
若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值．
20.本小题分
对任意复数，定义．
若，求相应的复数；
证明：；
若中的为常数，令，对任意，是否一定有常数使得？若有，这样的是否唯一？说明理由．
参考答案
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15.解：由在复平面上对应的点在第一象限，且，
得，解得，
；
，，
，
可得．
16.解：因为，，，
所以，又，
所以；
证明：因为，，，
所以，
所以；
因为，，，
所以
．
17.证明：，，
为线段靠近点的三等分点，为线段靠近点的三等分点，
，
又平面，平面，平面，
又，，，四点共面，平面，平面平面，
，，
又，底面为梯形．
解：存在，为上靠近点的三等分点，证明如下：
连接，，为上靠近点的三等分点，则，
且，则且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，则平面，
，平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面平面，
为上的动点，则平面，则平面．
18.解：因为，
由正弦定理得，
又因为，
整理可得，
又，
所以，可得，
所以；
因为为的中点，所以，
两边平方可得，
而，，
即，
在中，由余弦定理得，
由可得，，
所以，即，
所以的周长为．
19.解：因为圆锥的底面半径，高，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的表面积为；
当球的表面积最小时，其轴截面如图：
设球的半径为，在中，由勾股定理得，解得，
所以球表面积的最小值为；
正方体的外接球在圆锥内，且与圆锥相切时最大，
设球心为，球心在上，作于，
设球半径为，，
由∽得，，解得，
又，解得，即的最大值为．
20.解：因为，
所以由题中新定义得：，
所以由复数相等的概念可得：，
由，得，从而，，解得，此时，；
所以，．
证明：设，，
所以
又因为，
所以，
所以．
证明：因为中的为常数，令，
所以，
因为，，，
所以，
所以令，，，则有，
当取不同值时，也有相应的不同值，故存在这样的，但不唯一．
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