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2024-2025 学年湖北省重点高中智学联盟高一下学期 5 月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.已知 是虚数单位，则复数1+2 =( )
A. B. C. 4 3 4 35 5 D. 5+ 5
2.已知向量 ， 满足 = (1, 3)， = ( 3 1 2 , 2 )，若( + ) ⊥ (
)，则实数 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 92
3.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 1，sin = 2sin ，cos = 14，则△ 的面积 =( )
A. 1 B. 2 15 C. 15 D. 154
4.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 为正方形 的中心， 为 1 1中点， 是线段 的中点，
则( )
A. = ，且直线 ， 是相交直线
B. ≠ ，且直线 ， 是相交直线
C. = ，且直线 ， 是异面直线
D. ≠ ，且直线 ， 是异面直线
5.若 cos + cos = 1 592，cos( ) = 72，其中 ， ∈ (0, )，则 sin + sin =( )
A. 1 1 2 32 B. 3 C. 2 D. 3
6 5 1.将函数 ( ) = cos2( 12 + ) cos
2( 12 )的图象向左平移 ( > 0)个单位长度后，横坐标变为原来的2

倍，纵坐标不变得到函数 ( )的图象，若 ( )满足 ( 12 + ) = ( 12 )，则 的最小值为( )
A. 12 B.
3
8 C. 4 D. 8
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7 2 cos .在锐角△ 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 3 = cos 且 = 3，则锐角△ 面积的取
值范围为( )
A. (0, 2 33 ) B. (3 3, 9 3] C. (
3 3 , 9 3 9 32 4 ] D. (0, 4 ]
8.已知实数 ， ，满足 = 2 7 + 16(1 ≤ ≤ 5) 3 ，则 的最大值为( )
2+ 2
A. 1 B. 9 4141 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.复数 = 2 的虚部为
B.若 1 + 是关于 的二次方程 2 + + 2 = 0( , ∈ )的根，则 1 也是该方程的根
C. + 2 + 3 + + 2025 =
D.若复数 满足| | = 1，则| 3 4 |的最大值为 6
10.如图，圆锥 的底面半径为 1，侧面积为 3 ，△ 是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是( )
A.圆锥的母线长为 3
B. 圆锥 的侧面展开图的圆心角为2
C.由 点出发绕圆锥侧面一周，又回到 点的细绳长度的最小值为 3 3
D. 2该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 2
11.已知 ， 在△ 所在平面内，| | = | | = | | = 3， = = ， = 1，记 =
， = ， = ，则下列说法正确的是( )
A. 为△ 的外心 B. 为△ 的内心
C. = + + D. 2 + 2 + 2 = 81
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 3 2 3中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3，sin = 3 ， = 3 ，则 cos = ．
13.已知函数 ( ) = 3sin + 4cos 在 = 0处取得最小值，则 sin(

0 + 3 ) = ．
14.四面体 中， ⊥ ， ⊥ ， = 2 2，且异面直线 与 所成角为60 .若四面体外接球半
径为 6，则四面体 的体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
如图所示，四边形 是直角梯形，其中 ⊥ ， // ，梯形上方为4圆.若将阴影图形绕 旋转一周．
(1)求阴影图形形成的几何体的表面积;
(2)求阴影图形形成的几何体的体积．
16.(本小题 15 分)
已知 = (2 3sin , 2cos )， = (cos , cos )
(1)若 // ，求 cos2 ;
(2)若 ( ) = ，
(ⅰ)求函数 ( )的单调递减区间;
2 4 6(ⅱ) 英国数学家泰勒( . , 1685 1731)发现了如下公式：cos = 1 2! + 4! 6! + ，其中 ! = ×
( 1) × ( 2) × × 3 × 2 × 1，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的
. 1 1 1准确性运用上述思想，计算 ( 6 2 )的值. (结果精确到小数点后 3 位，参考数据：4! ≈ 0.04167，6! ≈ 0.00139)
17.(本小题 15 分)
如图，在△ 中， = ， = 2 ，点 为 和 的交点，设 = ， = ．
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(1)若 = + ，求 ， 的值;
(2)若| | = 2，| | = 3， 与 的夹角为3，
(ⅰ)求△ 的面积;
(ⅱ)求∠ 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中，角 ， cos 1， 的对边分别是 ， ， ， 为 边上一点，已知 = 2， = 4，2 + = 2 ．
(1)求 ;
(2)若 平分∠ ，求△ 的面积;
(3)若 为 边的中点， ， 分别为 边及 边上一点(含端点)，且 = ， = (1 ) ，求
的取值范围．
19.(本小题 17 分)
材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的
乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元 ( ∈ )次复系数多项式方程 ( ) = 0 至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元 ( ∈ )次复系数多项式 ( )在复数集中可以分解为 个一次
因式的乘积.进而，一元 次多项式方程有 个复数根(重根按重数计)．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程 2 2 + 1 + 0 = 0( 2 ≠ 0)
1 + 2 =
1

在复数集 内的根为 1、 2，容易得到 2 1 2 =
0
2
设实系数一一元三次方程 33 + 2 2 + 1 + 0 = 0( 3 ≠ 0) ①
在复数集 内的根为 1、 2、 3，可以得到，方程 ①可变形为 3( 1)( 2)( 3) = 0
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展开得： 3 3 3( 1 + 22 + 3) + 3( 1 2 + 1 3 + 2 3) 3 1 2 3 = 0 ②
+ + = 21 2 3 3
+ + =
1
比较 ① ②可以得到根与系数之间的关系： 1 2 1 3 2 3 3
01 2 3 = 3
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
已知函数 ( ) = 3 + 3 2，函数 ( )的图象上有四个不同的点 、 、 、 ．
(1)对于方程 ( ) + 5 = 0 在复数集 内的根为 1、 2、 3，求 21 + 22 + 23的值;
(2)已知函数 ( ) = ( ) 3 2 + + 2，对于方程 ( ) = 在复数集 内的根为 1、 2、 3，当 ∈ [0,1]时，
求 3 + 3 31 2 + 3的取值范围．
(3)若 按逆时针方向顺次构成菱形，设 ( , ( ))， ( , ( ))，求代数式( 2 + 2 2)( 2 + 2 2)
的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 779
13. 3+4 310
14.2 6
15.解：(1)由题意知所得的几何体由两部分组成：圆台和半球，
在本题中，圆台的上底面半径 = 2，下底面半径 = 5，母线长 = (5 2)2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
则圆台侧面积 圆台侧 = × (2 + 5) × 5 = 35
2
圆台下底面积 圆台下底 = × 5 = 25
2半球表面积 半球 = 2 × 2 = 8
故阴影图形形成的几何体的表面积 ；
(2) 1圆台的高 = 4， = 2， = 5，则圆台体积 2 2圆台 = 3 × 4 × (2 + 5 + 2 × 5) = 52
2 16
半球体积 3半球 = 3 × 2 = 3
16 172
故阴影图形形成的几何体的体积 = 圆台 + 半球 = 52 + 3 = 3
16.解：(1)若 // ，
则 2 3sin cos = 2cos2 ， ①
若 cos = 0， = 0，满足要求，此时 cos2 = 1 ②，
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2
若 cos ≠ 0， 3sin = cos ，tan = 3 1 tan 13 ，cos2 = 1+tan2 = 2；
(2)(ⅰ) ( ) = = 2 3sin cos + 2cos2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + 6 ) + 1，

令2 + 2 ≤ 2 +
≤ 3 6 2 + 2 ， ∈ ，

即6 + ≤ ≤
2
3 + ， ∈ ，
2
所以函数 ( )的单调递减区间[ 6 + , 3 + ]， ∈ ；
(ⅱ) 因为 ( ) = 2sin(2 + 6 ) + 1，
( 1所以 6 2 ) = 2sin(

3 1+

6 ) + 1 = 2sin(

2 1) + 1 = 2cos1 + 1，
cos1 = 1 1 + 1 1由泰勒公式得： 2! 4! 6! + ≈ 1 0.5 + 0.04167 0.00139 = 0.54028，
1
所以 ( 6 2 ) = 2cos1 + 1 ≈ 2 × 0.54028 + 1 ≈ 2.081．
17.解：(1)设 = , = ，
则 = ( ), = ( )，
所以 = 1 2 +
, = (1 ) + 1 3 ，
1 = 1 = 1
所以 2 1 ，解得
5
3 ， = 3 = 5
所以 = 2 + 1 2 1 5 5 = 5 + 5 ，
又 = + = 2 , = 1，所以 5 5；
(2)(ⅰ) 1 1 = 2 sin∠ = 2 × 2 × 1 × sin 3 =
3
2 ，
由(1)知， = 3 25 ，所以
= 5
，
2 3
所以 的面积 = 5 = 5 ；
(ⅱ) (1) = 2 + 1 = 2 + 1由 5 5 5 5 ，
= = ( 25 +
1 ) = 3 1 5 5 5 ，
| | = 2，| | = 3， 与 的夹角为3，
2 2则 = 4, = 9, · = 2 × 3 × 11 = 3，
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2 2
= 15 2 +
= 15 4
2 + + 4 · = 15 16 + 9 + 12 =
37
5 ，
2
= 15 (3
)2 = 1 9 2 5 + 6 ·
= 15 36 + 9 18 =
3
5 3，
· = ( 3 1
2
5 5 )·(
2
5 +
1 6 2
5 ) = 25 +
1 125 25 ·
= 1825，
18
cos∠ = = 25 = 6 111．
| || | 3 3× 37 1115 5
18.解：(1) cos 1因为2 + = 2 ，
cos 1
由正弦定理得2sin +sin = 2sin ，
即 2sin cos = 2sin + sin ，
则 2sin cos = 2sin( + ) + sin ，
即 2sin cos = 2(sin cos + cos sin ) + sin ，
即 sin (2cos + 1) = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 sin ≠ 0，则 cos = 12，
又因为 ∈ (0, ) 2 ，所以 = 3 ;
(2)由(1)得 = 2 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 42 2 × 2 × 4 × ( 12 ) = 28，即 = 2 7，
4
因为 平分∠ ，根据角平分线性质 = = 2 = 2，且 + = = 2 7，
2
所以 = 3 × 2 7 =
4 7
3 ，
2+ 2 2
由余弦定理 cos = 28+16 4 5 72 = 2×2 7×4 = 14 ，
sin = 1 ( 5 7则 )2 = 2114 14 ，
= 1则 △ 2 sin =
1 × 4 × 4 7 × 212 3 14 =
4 3
3 ．
(3)因为 为 边的中点，所以 = 1 ( + 2 )，
= = 12 (
+ ) = ( 1 )2
1 2
，
= = (1 ) 1 ( 2
+ ) = 1 2 + (
1 ) 2 ，
1 1 1 1
则 = [( ) 2 2 ] [
2 + ( )
2 ]
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= 1 ( 1 )
2
+ ( 1 )( 1 ) + 1 1 ( 1 )
2
2 2 2 2 4 2 2 ，
又
2
= 2
2
= 16， = 2 = 4， = | || |cos = 4 × 2 × ( 12 ) = 4，
则 = 12 (
1 1 1
2 ) × 16 + ( 2 )( 2 ) × ( 4) +
1
4 × ( 4)
1
2 (
1
2 ) × 4 = 4(
5 2 13
4 ) 4，
因为 ∈ [0,1]，
则当 = 0 时，( ) = 3;
当 = 1 时，( ) = 3，
所以 ∈ [ 3,3]．
19.解：(1)将 ( ) + 5 = 0 变形，已知 ( ) = 3 + 3 2，
则方程为 3 + 3 2 + 5 = 0，
由材料得 3 23 + 2 + 1 + 0 = 0(这里 3 = 1， 2 = 3， 1 = 1， 0 = 5)，

若根为 21， 2， 3，根据根与系数的关系有 1 + 2 + 3 = = 3，3
1 2 + 1 3 +
1
2 3 = = 1．3
2 + 2 + 21 2 3 = ( 1 + 2 + 3)2 2( 1 2 + 1 3 + 2 3) = ( 3)2 2 × ( 1) = 9 + 2 = 11．
(2)由题有 ( ) = 0 的三个实根为 1， 2， 3．
设 3 + + (2 ) = ( 1)( 2)( 3)，
展开得 3 + + (2 ) = 3 ( 21 + 2 + 3) + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) 1 2 3，
故 1 + 2 + 3 = 0，
则 31 + 32 + 33 = ( 2) 1 + ( 2) 2 + ( 2) 3 = 3 6，又 ∈ [0,1]，故 3 6 ∈ [ 6,
3]，
综上：当 ∈ [0,1]时， 31 + 3 32 + 3的取值范围为[ 6, 3];
(3)设菱形的对角线的交点为 点，设 点的坐标为( , )，
先证明点 为函数的对称中心，
证明如下：由题意有 ， 两点关于 对称，
设 ( , ( ))，故 C 点坐标为(2 ,2 ( ))，
将 点坐标代入函数可得 2 ( ) = (2 )3 + 3(2 )2，
即 2 3 3 2 = (2 )3 + 3(2 )2，
即 2 3 3 2 = 8 3 12 2 + 6 2 3 + 12 2 12 + 3 2，
化简可得：(6 + 6) 2 (12 2 + 12 ) + 8 3 + 12 2 2 = 0，
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因为有四个不同的点，所以关于 的方程有四个不同的解，故各项系数均为 0，
6 + 6 = 0
即 12 2 + 12 = 0 = 1，解得 ，
8 3 + 12 2 2 = 0 = 2
所以 ( 1,2)，且 ( 1,2)在 ( ) = 3 + 3 2上.
又因为 按逆时针方向顺次构成菱形，故 = 0，
又 ( , ( ))，则 = ( + 1, ( ) 2)， = ( + 1, ( ) 2)，
所以( + 1)( + 1) + ( ( ) 2)( ( ) 2) = 0，
即( + 1)( + 1) + ( 3 + 3 2 2)( 3 + 3 2 2) = 0，
( + 1)( + 1) + [( + 1)( 2 + 2 2)( + 1)( 2 + 2 2)] = 0，
( + 1)( + 1) [1 + ( 2 + 2 2)( 2 + 2 2)] = 0，
若( + 1)( + 1) = 0，则 = 1 或 = 1，
即点 与点 重合或点 与点 重合，此时四边形 不能构成菱形，
故( 2 + 2 2)( 2 + 2 2) = 1．
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