资源简介

2024-2025 学年山西省孝义市高一下学期 4 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2,2, 2i3 ， = ∈ 2 + 4 = 0 (其中 i 为虚数单位， 为复数集)，则 ∩ =( )
A. 2i B. 2 C. 2i D. 2,2
2.下列命题是真命题的是( )
A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C.经过不共线的三个点的球有且只有一个 D.直棱柱的侧面是矩形
3.如图，一个水平放置的三角形 的斜二测直观图是等腰直角三角形 ′ ′ ′，若 ′ ′ = ′ ′ = 1，
那么原三角形 的周长是( )
A. 2 2 + 1 B. 4 + 2 2 C. 2 2 + 2 D. 2 + 2
→
4.设 , 均为单位向量，则“|2 + | = | 2
→
|”是“ ⊥ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图 1.
其平面图如图 2 的扇形 ，其中∠ = 120 ， = 2 = 2，点 在弧 上，则 的最小值是( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
6.定义在 上的函数 ( ) = 2 + cos 1，若 = 2 ， = log13 ， = sin
1
4 2
，则 ， ， 的大小关系
为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
7 π.已知 0 < < π, 0 < < 2，且 sin + cos =
2 10
5 , 2sin2 + cos2 = 2，则 tan =( )
A. 3 B. 2 C. 13 D.
1
2
第 1页，共 9页
二、多选题：本题共 4 小题，共 24 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类
九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角
形三边 ， ， 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，
余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段
1 2+ 2 2 2
文字写成公式，即 = 2 24 2 .现有 满足 sin : sin : sin = 2: 3: 7，且 的面积
3 3 = 2 ，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. 周长为 5 + 7
B. 三个内角 ， ， 满足关系 + = 2
C. 2 21外接圆半径为 3
D. 19中线 的长为 2
9.设 1， 2为复数，下列说法正确的是( )
A. 2 = 21 1 B. 1 2 = 1 2
C.若 1 = 2，则 1 = 2 D.若 1 + 2 = 1 2 ，则 1 2 = 0
10.已知函数 ( ) = cos ， ( ) = 2sin ， ( ) = ( ) + ( )，则( )
A. ( )的图象是由 ( ) π的图象向左平移2个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的 2 倍得到
B. ( )的图象是由 ( ) π的图象向右平移2个单位长度，且所有点的纵坐标变为原来的 2 倍得到
C.当 ∈ 1, 5 时，函数 ( )的图象与 = 在区间 0,2π 内有两个不同交点
D.当 ( ) = ( ) 0 < < < 2π 4时，tan( + ) = 3
11.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图 1)，明朝科
学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2 米的筒车水轮圆心 距离水
面 1 米(图 3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动 4 圈，当水轮上点 从水中浮现时(图 3 中点 0)开始计
时，经过 秒后点 距离水面的高度为 米，下列结论正确的有( )
第 2页，共 9页
A. 关于 2π的函数解析式为 = 2sin 15
π
6 + 1( ≥ 0)
B.点 第一次到达最高点需用时 5 秒
C. 再次接触水面需用时 10 秒
D.当点 运动 2.5 秒时，距水面的高度为 1.5 米
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 (1,3)， (4, 1)，则与向量 重直的单位向量为 ．
13 cos10
°(1+ 3tan10°)
. 1 2cos265° = ．
14.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 有外接
球，且 = 2 6， = 2 2， = 15， = 5，平面 与平面 间的距离为 1，则该刍童外
接球的体积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在边长为 2 的菱形 中∠ = 60°．
(1)求 ；
(2)若 为对角线 上一动点.连结 并延长，交 于点 ，连结 ，设 = (0 ≤ ≤ 1).当 为何值时，
可使 最小，并求出 的最小值．
16.(本小题 15 分)
记 的内角 ， ， 2 2 cos 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2+ 2 2．
(1)求 ；
(2)若 = 6, sin + cos = 2，求 的值．
17.(本小题 15 分)
第 3页，共 9页
在 中，内角 A、 、 所对的边分别为 、 、 ，满足 2 cos = cos + cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 7， 边上的中线 的长为 2，求 的面积；
(3)若内角 的角平分线交 于 点，且 = 3，求 的面积的最小值．
18.(本小题 16 分)
已知数 ( ) = 3sin 2 + π 2 π6 + 2sin + 12 1( > 0)
π
的相邻两对称轴间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式；
(2) π 1将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 =
( ) = 1 π的图象，若 0 3， 0 ∈ 0, 8 ，求 cos4 0的值；
(3)对于第(2) 4 π 4π问中的函数 ( )，记方程 ( ) = 3在 ∈ 6 , 3 上的根从小到大依次为 1， 2，…， ，若 = 1 +
2 2 + 2 3 + + 2 1 + ，试求 与 的值．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，对于非零向量 = 1, 1 , = 2, 2 ，定义这两个向量的“相离度”为 ( , ) =
1 2 2 1 ，容易知道 , 平行的充要条件为 ( , ) = 0．
2 2 21+ 1 2+
2
2
(1)已知 = (1,2), = (4, 2)，求 ( , )；
(2)①已知 , 的夹角为 1和 , 的夹角为 2，证明： ( , ) = ( , )的充分必要条件是 sin 1 = sin 2；
= 2, = 4, = 2 = 4②在 中， 且 3，若 + +
= 0，求 ( , )．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4 3 4 35 , 5 或 5 , 5
13.2
14.36
15.(1)在菱形 中，易知 = + ， = = 2，
2
所以 = + = +
= 4 + cos60° = 4 + 4 × 12 = 6．
(2)在菱形 中， // ，易知 ∽△ ，

由 =

，则 = = ，即 = ，
所以 = + + + = (1 ) +
= (1 )
2 2
(1 ) + = 4 2 8 + 6，
故 = 4( 1)2 + 2，所以当 = 1 时， 取得最小值为 2．
16.(1)由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 cos ，
2 2 cos
所以 = 2 cos ，即 2 cos = cos + cos ，
由正弦定理得 2sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin ，
因为 sin ≠ 0 1，所以 cos = 2，
第 5页，共 9页
因为 ∈ 0, π ，所以 = π3．
(2)由 sin + cos = 2sin + π4 = 2
π
，得 sin + 4 = 1，
π π 5π
因为 ∈ 0, π ，所以 + 4 ∈ 4 , 4 ，
+ π所以 4 =
π π
2，解得 = 4，
所以 = π = 5π12，
6
因为sin = sin = sin = 3 = 2 2，
2
所以 = 2 2sin = 2 2sin 5π12 = 2 2 ×
6+ 2
4 = 3 + 1，
= 2 2sin = 2 2sin π4 = 2 2 ×
2
2 = 2，
所以 = 3 + 1 2 = 3 1．
17.(1)由 2 cos = cos + cos 及正弦定理得：
2sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin π = sin ，
1 2π
因为 、 ∈ 0, π ，所以 sin > 0，则 cos = 2，故 = 3 ．
(2)解法一：因为 = 2 7， 为 中点，则 = = 7，
2 2 2 2 2
由余弦定理得 cos = + 2 =
+ 28 1 2 2
2 = 2，得 + = 28 ，
2 2 2 2
在 中，cos∠ = + 7+4 2 × = 2× 7×2，
2+ 2 2 7+4 2
在 中，cos∠ = 2 × = 2× 7×2，
因为∠ + ∠ = π，所以 cos∠ + cos∠ = 0，
所以，22 2 + 2 = 22 (28 ) = 0，解得： = 6，
故 1的面积为 = 2 sin =
1 × 6 × 3 = 3 32 2 2 ；
解法二：因为 为 的中点，则 2 = + ，
所以，4
2 2 2 2= + = + + 2 = 2 + 2 + 2 cos 2π3 ，
即 2 + 2 = 16，
第 6页，共 9页
2π
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos 2 23 ，即 + + = 28，
= 6 = 1 sin = 1 × 6 × 3 = 3 3所以 ，故 的面积为 2 2 2 2 ．
(3)因为∠ = 2π3， 平分∠ ，所以∠ = ∠ =
π
3，
又 = 3，则由 =
1 2π 3 π 3
+ ，得2 sin 3 = 2 sin 3 + 2 sin
π
3，
所以 = 3( + )，
由基本不等式可得 = 3( + ) ≥ 2 3 ，则 ≥ 2 3，得 ≥ 12，
当且仅当 = = 2 3时，等号成立，
= 1 sin 2π = 3 ≥ 3所以 2 3 4 4 × 12 = 3 3，故 面积的最小值为 3 3．
18.(1) ( ) = 3sin 2 + π6 + 2sin
2 + π12 1 = 3sin 2 +
π
6 cos 2 +
π
6
3 π 1 π π π
= 2 2 sin 2 + 6 2 cos 2 + 6 = 2sin 2 + 6 6 = 2sin2
∵ 2 =
π
2 ∴ = π
又∵ = 2π2 = π，∴ = 1
∴ ( ) = 2sin2
(2) ( ) = 2sin2 π π向右平移6个单位，得 = 2sin 2 6 = 2sin 2
π
3 ;
1 π
再把横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得 ( ) = 2sin 4 3
= 2sin 4 π = 1因为 0 0 3 3，所以 sin 4 0
π = 13 6
因为 0 ∈ 0,
π π π π π 35
8 ，则 4 0 3 ∈ 3 , 6 ，所以 cos 4 0 3 = 6
故，cos4 0 = cos 4
π π π π π π 35 3
0 3 + 3 = cos 4 0 3 cos 3 sin 4 0 3 sin 3 = 6
(3)由方程 ( ) = 43，即 2sin 4
π
3 =
4
3，即 sin 4
π
3 =
2
3，
∈ π , 4π π π因为 6 3 ，可得 4 3 ∈ 3 , 5π ，
第 7页，共 9页
设 = 4 π π3，其中 ∈ 3 , 5π ，即 sin =
2
3，
结合正弦函数 = sin 的图象，
可得方程 sin = 2 π3在区间 3 , 5π 有 5 个解，即 = 5，
其中 1 + 2 = 3π， 2 + 3 = 5π， 3 + 4 = 7π， 4 + 5 = 9π，
即 4 π π π1 3 + 4 2 3 = 3π，4 2 3 + 4
π
3 3 = 5π，
4 3
π π π
3 + 4 4 3 = 7π，4 4 3 + 4
π
5 3 = 9π，
解得 + = 11π 17π 23π 29π1 2 12， 2 + 3 = 12 ， 3 + 4 = 12， 4 + 5 = 12 ，
所以 = 1 + 2 2 + 2 3 + + 2 4 + 5 = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + +
20π
4 4 + 5 = 3
= 5 = 20π综上， ， 3 ．
19.(1)因为 = (1,2), = (4, 2)，
1×( 2) 2×4 10
所以 ( , ) = = = 1．
12+22× 42+( 2)2 5×2 5
2 2
(2)①因为cos2 , + 2( , ) = 1 2+ 1 2 + 1 2 2 1
21+
2
1
2
2+
2
2
2
1+
2 2 2
1 2+ 2
2 2 2 2 2 2 2 2= 1 2+ 1 2+ 1 2+ 2 1
2+ 2
= 1，
1 1
2
2+
2
2
且 ( , ) ≥ 0，sin , ∈ 0, π ，则 2( , ) = 1 cos2 , = sin2 , ，
所以 ( , ) = sin , ．
若 ( , ) = ( , )，等价于 sin , = sin , ，即 sin 1 = sin 2，
所以 ( , ) = ( , )的充分必要条件是 sin 1 = sin 2；
②因 = 2 ，
则 = + = + 1 = + 1 = 2 + 1 3 3 3 3 ，
2
2 2 2
可得 = 23
+ 1 4 1 4 3 = 9 + 9 + 9
，
16 = 16 16即 + + 4 9 9 9 9 ，可得
= 4，
又因为 + + = 0 1 1，可知点 为 的重心，则 = + 3 3 ，
第 8页，共 9页
可得 = 1 1 , = + = 2 1 3 3 3 3 ，
2
则
2 2
= 1 1 3 3 =
1
9
+ 1 9
+ 2 9 =
4
3，
2

2 2 2
= 2 1 3 3
= 49
+ 1 9
4 9
= 163，
2 2 = 13
1 3
2 3
1 3 =
2 + 1 9 9
1 9
= 43，
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑