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浙江省2025年中考复习训练卷（高难度）
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在分别标有号码2、3、4、…10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．已知|2x+3|+|2x﹣1|＝4，则x的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣1≤x≤0 D．
3．关于x，y的方程组有无数组解，则（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1
4．如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
5．如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCH，△CDG，△ADE）组成的新图形，若EF＝2，GH＝8，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
6．已知实数x，y满足x2+4y2﹣3xy＝1，则x2﹣y2的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．设四位数满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知n（n≥8）个正实数a1＝2，a2，a3， ，an满足，其中q是不为1的正数．则a1+a8与a4+a5的大小关系为（　　）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（　　）
A．AD B．CD C．CG D．DE
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝52°，∠ABC＝98°，∠AOB＝120°（O为圆心），AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，则此四边形的面积为（　　）（用含a、b、c、d表示四边形ABCD的面积）
A．（ab+cd） B．
C．（ad+bc） D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．方程的解为　 　
12．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 　 　 ．
13．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是 　 　 ．
14．小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， 　 　 ．
15．AB为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，则 　 　 ．
16．如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，5），射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B．若∠APB＝45°，则△AOB的周长是否会发生变化？若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由．
18．（8分）如图，四边形ABCD满足∠CBA＝∠CBD，∠BAC＝∠BCD，BE⊥CA于E，BF⊥CD于F，H为△BEF的垂心，求证：D，H，A三点共线．
19．（8分）尺规作图问题：如图1，在 ABCD中（AD＞AB），用尺规作∠ABC的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了!如图2，以A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点E，连结BE，则BE平分∠ABC．
（1）按照小温的说法，在图1中用尺规作∠ABC的角平分线；
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
20．（8分）某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
研学活动意向地点调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是_____． （A）博物馆 （B）动物园 （C）植物园 （D）海洋馆 如果问题1选择D．请继续回答问题2． 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是_____ （E）白鲸互动 （F）水下芭蕾 （G）美人鱼表演 （H）其他
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？
（2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数．
21．（8分）已知a＞b＞c＞0，且a＞b+c，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+（ab+bc+ca）＝0．
（1）若方程有实数根x0，求证：a＞x0＞b+c；
（2）当方程有实数根6，9时，求正整数a，b，c的值．
22．（10分）已知一次函数y1＝kx+b过点，B（2，0），与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）试求这两个函数的表达式；
（2）当x取何值时，有y1≥y2；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转，得到△OB′C′，当点B′第一次落在直线AB上时，求点C经过的路线长．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值．
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG．
（1）求∠EGF的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若D是的中点，BC＝6，求AB的长．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考复习训练卷（高难度）
满分120分 时间120分钟
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在分别标有号码2、3、4、…10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用列举法得到所有36种等可能的结果数，再找出较大标号被较小标号整除有（2，4）、（2，6）、（2，8）、（2，10）、（3，6），（3，9）、（4，8），（5，10），
然后根据概率公式求解．
【解答】解：在分别标有号码2、3、4、…10的9个球中，随机取出两个球，共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种等可能的结果数，其中较大标号被较小标号整除有（2，4）、（2，6）、（2，8）、（2，10）、（3，6），（3，9）、（4，8），（5，10），
所以较大标号被较小标号整除的概率．
故选：B．
2．已知|2x+3|+|2x﹣1|＝4，则x的取值范围是（　　）
A． B． C．﹣1≤x≤0 D．
【分析】运用绝对值、同类项和一元一次不等式知识进行辨别、求解．
【解答】解：由题意得，
|2x+3|+|2x﹣1|
＝（2x+3）+[﹣（2x﹣1）]
＝2x+3﹣2x+1
＝4，
∴，
解得x，
故选：B．
3．关于x，y的方程组有无数组解，则（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a＝﹣2，b＝1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝2，b＝1
【分析】由题意可①﹣②得（1﹣b）x+（a+2）y＝0，然后问题可求解．
【解答】解：，
①﹣②得：（1﹣b）x+（a+2）y＝0，
∵方程组有无数组解，
∴1﹣b＝0，a+2＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1．
故选：B．
4．如图，在三角形ABC中，AB＝11，AC＝15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC＝（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【分析】过点M作MN∥AB，交AC于点N，先证明MN是△ABC的中位线，则MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，再证FN＝MN＝5.5，进而可得出FC的长．
【解答】解：过点M作MN∥AB，交AC于点N，如图所示：
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴设∠BAD＝∠CAD＝α，则∠BAC＝2α
∵MF∥AD，
∴∠1＝∠CAD＝α，
∵点M是BC的中点，MN∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，∠2＝∠BAC＝2α，
∴MNAB＝5.5，NCAC＝7.5，
∵∠2是△MNF的一个外角，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴2α＝α+∠3，
∴∠3＝α，
∴∠1＝∠3＝α，
∵FN＝MN＝5.5，
∴FC＝FN+NC＝5.5+7.5＝13．
故选：B．
5．如图是由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCH，△CDG，△ADE）组成的新图形，若EF＝2，GH＝8，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．5 B． C． D．6
【分析】由全等三角形的性质得AF＝CH，AE＝BF＝CG，而EF＝2，GH＝8，推导出AF＝BF+2，AF+BF＝8，求得BF＝3，AF＝5，由勾股定理得AB，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵Rt△ABF≌Rt△CBH≌Rt△DCG≌Rt△DAE，
∴AF＝CH，AE＝BF＝CG，
∵EF＝2，GH＝8，
∴AF＝AE+EF＝BF+2，AF+BF＝CH+CG＝GH＝8，
∴BF+2+BF＝8，
解得BF＝3，
∴AF＝3+2＝5，
∵∠F＝90°，
∴AB，
∴正方形ABCD的边长为，
故选：C．
6．已知实数x，y满足x2+4y2﹣3xy＝1，则x2﹣y2的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】根据题意，设m＝x﹣y，n＝x+y，用m、n表示x、y，所以8m2+2n2﹣6mn﹣4＝0，所以8m2+2n2＝6mn+4，因为8m2，2n2≥0，所以8m2+2n2，得mn≤2，mn＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，所以x2﹣y2的最大值是2．
【解答】解：设m＝x﹣y，n＝x+y，
所以，，
则x2+4y2﹣3xy＝1可写成：
，
所以8m2+2n2﹣6mn﹣4＝0，
所以8m2+2n2＝6mn+4，
因为8m2，2n2≥0，
所以，
即6mn+4≥8mn，
得mn≤2，当且仅当8m2＝2n2等式成立，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝mn，
所以x2﹣y2的最大值是2．
故选：D．
7．设四位数满足a3+b3+c3+d3+1＝10c+d，则这样的四位数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可．
【解答】解：四位数满足a3+b3+c3+a3+1＝10c+d，a，b，c，d是小于10的自然数，
∴a3+b3+c3+a3+1＝10c+d是两位数，
∴a，b，c，d均为小于5的自然数，
∴如果c＝1，d＝0，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2010；
如果c＝1，d＝1，则a＝2，b＝0，此时这个四位数为2011；
如果c＝1，d＝2，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1112；
如果c＝2，找不到符合要求的数，
如果c＝3，d＝0，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1130；
如果c＝3，d＝1，则a＝1，b＝1，此时这个四位数为1131；
如果c＝4，则c3＝64，不符合题意，
综上所述，这样的四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131，共5个，
故选：C．
8．已知n（n≥8）个正实数a1＝2，a2，a3， ，an满足，其中q是不为1的正数．则a1+a8与a4+a5的大小关系为（　　）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【分析】根据表示出两个式子，再将两式相减比较即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，，，
∴，
∵q是不为1的正数，an＞0，a1＝2，
∴
∴a1+a8＞a4+a5，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝x，BC＝y，且x+y是定值．点D是AC上一点，点E为AB中点，连接CE，将线段CE沿绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF交AC于点G，若点A关于直线DE的对称点恰为点F，则下列线段长为定值的是（　　）
A．AD B．CD C．CG D．DE
【分析】连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，先根据直角三角形斜边中线的性质以及旋转的性质确定△AEF为等腰三角形，根据三角形内角和定理以及外角的性质求出∠DAF＝45°，再根据对称的性质，求出∠EDC的度数，从而得到DE∥BH，再根据三角形中位线定理用x，y表示出AD，CD，DE，最后根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例用x，y表示出CG，根据x+y为定值即可判断哪条线段为定值．
【解答】解：连接AF，DF，DE，在AC上取点H，使得CH＝BC，连接BH，作EK⊥AC于K，如图：
∵∠ACB＝90°，E为AB中点，
∴AE＝CE＝BE，
由旋转的性质可知，EF＝CE，∠FEC＝90°，
∴△AEF和△CEB为等腰三角形，∠AEF+∠BEC＝90°，
设∠BAC＝α，则∠BEC＝2∠BAC＝2α，
∴∠AEF＝90°﹣2α，
∴∠EAF（180°﹣∠AEF）＝45°+α，
∴∠DAF＝45°，
由对称的性质可知，AD＝DF，∠ADE＝∠FDE，
∴∠DFA＝∠DAF＝45°，
∴∠ADF＝90°，
∴DF⊥AC，
又∵∠ADE+∠EDF+∠ADF＝360°，
∴∠ADE＝∠FDE＝135°，
∴∠EDC＝45°，
∵CH＝BC，∠HCB＝90°，
∴∠BHC＝45°，BHBCy，AH＝AC﹣BC＝x﹣y，
∴DE∥BH，
∵E是AB中点，
∴DE是△AHB的中位线，
∴DEBHy，ADAH，
∴DE和AD均不是定值，
∴CD＝AC﹣AD，
∴CD为定值，
∵EK⊥AC，
∴DF∥EK∥BC，
∴EKBCy，AKACx，
∴DK＝AK﹣ADy，
∵，
∴DG，
∴CG＝CD﹣DG，
∴CG不是定值；
综上所述，CD为定值．
故选：B．
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝52°，∠ABC＝98°，∠AOB＝120°（O为圆心），AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，则此四边形的面积为（　　）（用含a、b、c、d表示四边形ABCD的面积）
A．（ab+cd） B．
C．（ad+bc） D．
【分析】依据题意，连接AC，BD交于P，先证明AC⊥BD，从而在Rt△ADP中，可得，，同理得： ，再证得△APB∽△DPC，故可得比例式，从而，，又在 Rt△CPD 中，由勾股定理得：DC2＝PD2+PC2，则，进而4c2＝b2+d2，最后由S四边形ABCDAC BD（AP+PC）（BP+PD）即可判断得解．
【解答】解：连接AC，BD交于P．
∵∠AOB＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
又∵∠ABC＝98°，
∴∠3＝22°．
又∵∠DAB＝52°，
∴∠DAC＝30°．
∴∠1+∠DAC＝90°．
∴AC⊥BD，
∵∠DAC＝30°，AD＝d，∠APD＝90°，
∴，，
同理得：，，
∵∠BAC＝∠BDC，∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，，
在 Rt△CPD 中，由勾股定理得：DC2＝PD2+PC2，
∴．
∴4c2＝b2+d2，
∴S四边形ABCDAC BD（AP+PC）（BP+PD）
，
，
，
，
．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．方程的解为　x　
【分析】把无理方程通过化简化为整式方程，解整式方程即可得到结论．
【解答】解：移项得，，
方程两边平方得，x1﹣x，
去分母得，x＝1﹣2xx2，
移项得，1﹣x﹣2xx2＝0，
所以（x）2＝0，
∴x＝0，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1，x2（不合题意舍去），
经检验：x，是原方程的根，
故答案为：x．
12．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 　2800　 ．
【分析】先判断a+b≥51，且a，b为正整数，再分51≤a+b≤100，a+b＞100，再建立方程组解题即可．
【解答】解：∵50×13＝650，
∴两个部门的人数和超过50人，
∴a+b≥51，且a，b为正整数，
当51≤a+b≤100时，
∴11（a+b）＝990，
∴a+b＝90①，
∵a≥b，
当两部门的人都小于50人时，不是整数，不符合题意；
∴51≤a≤100，1≤b≤50，
∴11a+13b＝1290②，
联立①②可得：，
解得：，不符合题意，
当a+b＞100时，
∴9（a+b）＝990，
∴a+b＝110③，
∵a≥b，
当1≤b≤50，51＜a≤100，
∴11a+13b＝1290④，
联立③④可得：，
解得：，
∴ab＝40×70＝2800，
当51≤b≤100，51≤a≤100时，
∴11（a+b）＝1290，此时不符合题意，舍去，
当a＞100时，则1≤b＜10，
∴13b+9a＝1290⑤，
联立③⑤可得：，
解得：，不符合题意，舍去，
综上分析：ab＝2800，
故答案为：2800．
13．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数之和的最大值是 　112　 ．
【分析】根据选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，选中方格中的4个数求和有8种情况，分别计算比较即得．
【解答】解：选中4个数分以下24种情况：
11+22+33+43＝109，
11+22+42+33＝108，
11+33+22+44＝110，
11+33+43+24＝111，
11+42+22+34＝109，
11+42+33+24＝110，
21+12+33+44＝110，
21+12+43+34＝110，
21+33+13+44＝111，
21+33+43+15＝112，
21+42+13+34＝110，
21+42+33+15＝111，
31+12+22+44＝109，
31+12+43+24＝110，
31+22+13+44＝110，
31+22+43+15＝111，
31+42+13+24＝110，
31+42+22+15＝110，
40+12+22+34＝108，
40+12+33+24＝109，
40+22+13+34＝109，
40+22+33+15＝110，
40+33+13+24＝110，
40+33+22+15＝110，
∴4个数和的最大值为112．
故答案为：112．
14．小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB＝2，BC＝10，S△ABC＝40，则当矩形DEFG的面积最大时， 　　 ．
【分析】过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图，先利用三角形面积公式计算出AM＝8，再证明四边形DMNG为矩形得到DG＝MN，则AN＝8﹣DG，接着证明△AGF∽△ABC，所以，则DE（8﹣DG），根据矩形的面积公式得到矩形DEFG＝DG DE（8﹣DG）DG，利用二次根式的性质，当DG＝4时，S矩形DEFG最大，然后求出对应的DE的长，从而得到的值．
【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交GF于点N，如图，
∵S△ABC＝40，
∴ BC AM＝40，
即10×AM＝40，
解得AM＝8，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥DE，DE＝GF，∠GDE＝∠DGF＝90°，
∴AM⊥GN，
∵∠GDE＝∠DGF＝∠DMN＝90°，
∴四边形DMNG为矩形，
∴DG＝MN，
∴AN＝AM﹣MN＝AM﹣DG＝8﹣DG，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，
∴DE（8﹣DG），
∴S矩形DEFG＝DG DE（8﹣DG）DG（DG﹣4）2+20，
∴当DG＝4时，S矩形DEFG最大，
当DG＝4时，DE（8﹣4）＝5，
此时，
故答案为：．
15．AB为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，则 　或　 ．
【分析】分两种情形：如图1，当．如图2，当时，分别求解即可．
【解答】解：如图1，当．连接OC、OP．
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC＝120°；
∵PC、PB都是⊙O的切线，
∴PC＝PB，，
在 Rt△POB 中，设 OB＝a，∠POB＝60°，则
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
．
C．
如图2，当时，同法可得 ．
综上所述，或．
故答案为：或．
16．如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为　　 ．
【分析】以BC为直径的半圆O，得∠A＝90°，得出直径是10，再求OD＝OE＝5，由垂径定理得OD⊥AB，OE⊥AC，则点H，W分别是AB，AC的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形HOWA是矩形，则，同理求出，，再代入MN＝DE﹣DM﹣NE进行计算，即可作答．
【解答】解：连接OD交AB于一点H，连接OE交AC于一点W，如图：
∴，
∴OD＝OE＝OB＝OD＝5，
∵D，E分别是和的中点，AB＝8，AC＝6，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点H，W分别是AB，AC的中点，
由条件可知，
∴DH＝OD﹣OH＝2，EW＝OE﹣OW＝1，
∵∠AHO＝∠HAW＝∠AWO＝90°，
∴四边形HOWA是矩形，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝OE＝5，
∴∠D＝∠E＝45°，，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠HMD＝45°，∠WNE＝45°，
∴HM＝DH＝2，NW＝EW＝1，
∴，，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，5），射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B．若∠APB＝45°，则△AOB的周长是否会发生变化？若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由．
【分析】作PC垂直x轴于点C，PD⊥y轴于点D，在x轴上截取CE＝BD，连接AB，PE，证明四边形OCPD为正方形，得出OC＝OD＝PC＝PD＝5，∠CPD＝90°，证明△PBD≌△PEC，得出∠BPD＝∠CPE，PB＝PE，证明△APB≌△APE（SAS），得出AB＝AE，即可得出答案．
【解答】解：△AOB的周长不发生变化；且△AOB的周长为10．
作PC垂直x轴于点C，PD⊥y轴于点D，在x轴上截取CE＝BD，连接AB，PE，如图所示：
∴∠PCO＝∠PDO＝∠COD＝90°，PC＝PD＝5，
∴四边形OCPD为矩形，
∵PC＝PD＝5，
∴四边形OCPD为正方形，
∴OC＝OD＝PC＝PD＝5，∠CPD＝90°，
∵∠PDB＝∠PCE＝90°，
∴△PBD≌△PEC（SAS），
∴∠BPD＝∠CPE，PB＝PE，
∴∠CPE+∠CPA＝∠DPB+∠CPA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠APE＝∠APB＝45°，
∵PA＝PA，
∴△APB≌△APE（SAS），
∴AB＝AE，
∴△AOB的周长
＝OA+OB+AB
＝OA+OB+AE
＝OA+OB+AC+CE
＝OC+OD
＝10．
18．（8分）如图，四边形ABCD满足∠CBA＝∠CBD，∠BAC＝∠BCD，BE⊥CA于E，BF⊥CD于F，H为△BEF的垂心，求证：D，H，A三点共线．
【分析】根据题意得出△BCD∽△BAC，设相似比为k，证明△BCF∽△BAE，得出，根据垂心的性质结合已知条件，得出四边形FHEC是平行四边形，则FC＝HE，FH＝CE，进而证明△AEH∽△ACD得出∠HAE＝∠ADC，又HE∥CD，即可得证．
【解答】证明：如图所示，连接HF，HE，
∵∠CBA＝∠CBD，∠BAC＝∠BCD，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
设，
∵BE⊥CA，BF⊥CD，
∴，
又∵∠BAC＝∠BCD，
∴△BCF∽△BAE，
∴，
∴，
∵H为△BEF的垂心，
∴EH⊥BF，FH⊥BE，
∴EH∥CD，FH∥AC，
∴四边形FHEC是平行四边形，
∴FC＝HE，FH＝CE，
∵，即，
又∵HE∥CD，则∠AEH＝∠ACD，
∴△AEH∽△ACD，
∴∠AHE＝∠ADC，
又∵HE∥CD，则∠EHD+∠CDH＝180°，
∴∠EHD+∠AHE＝180°，
∴A，H，D三点共线．
19．（8分）尺规作图问题：如图1，在 ABCD中（AD＞AB），用尺规作∠ABC的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了!如图2，以A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点E，连结BE，则BE平分∠ABC．
（1）按照小温的说法，在图1中用尺规作∠ABC的角平分线；
（2）小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）由平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE．由作图可知，AE＝AB，可得∠AEB＝∠ABE，进而可得∠CBE＝∠ABE，则BE平分∠ABC．
【解答】解：（1）如图1，射线BE即为所求．
（2）正确．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
由作图可知，AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴BE平分∠ABC．
20．（8分）某校拟开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，为了解学生的研学地点选择意向，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下：
研学活动意向地点调查问卷以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四个研学地点中，你最喜爱的是_____． （A）博物馆 （B）动物园 （C）植物园 （D）海洋馆 如果问题1选择D．请继续回答问题2． 问题2：你更喜欢的海洋馆表演节目是_____ （E）白鲸互动 （F）水下芭蕾 （G）美人鱼表演 （H）其他
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有多少人？
（2）该校有1600名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“博物馆”的学生人数．
【分析】（1）用本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生人数乘E所占百分比即可；
（2）用1600乘该校最喜爱“博物馆”项目的百分比即可．
【解答】解：（1）由题意得：90×50%＝45（人），
答：本次调查中最喜爱“海洋馆”的学生中更喜欢“白鲸互动”节目的有45人；
（2）1600432（人），
答：估计该校最喜爱“博物馆”的学生约有432人．
21．（8分）已知a＞b＞c＞0，且a＞b+c，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+（ab+bc+ca）＝0．
（1）若方程有实数根x0，求证：a＞x0＞b+c；
（2）当方程有实数根6，9时，求正整数a，b，c的值．
【分析】（1）利用二次函数根与系数之间的关系列出不等式，结合已知得出，化简即可证明；
（2）由根与系数的关系可得a，b，c的关系，进而解得a，b，c的值．
【解答】解：（1）由题意得，
其中Δ＝（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）＝（a﹣b﹣c）2﹣4bc，
∵a＞b＞c＞0，且a＞b+c，
∴a﹣b﹣c＞0，
∴（a﹣b﹣c）2﹣4bc＜（a﹣b﹣c）2，
则，
那么，，
即a＞x0＞b+c．
（2）由题意得a+b+c＝15，
则ab+bc+ca＝54，
那么a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝225﹣108＝117，
∵a＞x0，
∴a＞9，
∴92＜a2＜117＜112，
∴a＝10，
∵b+c＝5，bc＝4，
解得：或，
∵b＞c＞0，
∴应舍去，只取，
综上a＝10，b＝4，c＝1．
22．（10分）已知一次函数y1＝kx+b过点，B（2，0），与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．
（1）试求这两个函数的表达式；
（2）当x取何值时，有y1≥y2；
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转，得到△OB′C′，当点B′第一次落在直线AB上时，求点C经过的路线长．
【分析】（1）依据题意，由一次函数y1＝kx+b过点，B（2，0），可得方程组，求出k，b即可得一次函数的表达式；又D（﹣1，a）在一次函数上，可得a的值，从而求出D的坐标，最后求出m可得反比例函数的表达式；
（2）依据题意，联列方程组，从而可得C（3，），又y1≥y2，从而此时自变量是一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量，进而可以判断得解；
（3）依据题意，作CE⊥x轴于E，先求出∠ABO＝∠CBE＝60°，又由OB＝OB'，可得△BOB'为等边三角形，故∠B'OB＝60°，从而∠COC'＝60°，再求出OC，最后根据弧长公式计算可得点C经过的路线长．
【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y1＝kx+b过点，B（2，0），
∴．
∴．
∴一次函数的表达式为．
∵D（﹣1，a）在一次函数上，
∴a23．
∴D（﹣1，3）．
∴m＝（﹣1）×33．
∴反比例的表达式为y2．
（2）由题意，联列方程组，
∴或．
∴C（3，）．
∵y1≥y2，
∴此时自变量是一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量．
又∵D（﹣1，3），
∴当x≤﹣1或0＜x≤3时，有y1≥y2．
（3）由题意，作CE⊥x轴于E，
∵C（3，），B（2，0），
∴BE＝1．
∴CB2．
∴∠CBE＝60．
∴∠ABO＝∠CBE＝60°．
又∵OB＝OB'，
∴△BOB'为等边三角形．
∴∠B'OB＝60°．
∴∠COC'＝60°．
又∵OC2，
∴点C经过的路线长 ．
23．（10分）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值．
（3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法可以得解；
（2）依据题意，由点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1（2，16），再求得B1关于抛物线的对称轴对称的B2，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（﹣6﹣m，16），结合（﹣6﹣m，16）在y＝x2+4x﹣5图象上，可得16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，可得当x＝﹣2时，y取最小值，最小值为﹣9，再根据n＞﹣2、﹣6≤n≤﹣2和n＜﹣6进行分类讨论，即可计算得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7），
∴，
∴．
∴抛物线为y＝x2+4x﹣5．
（2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，
∴B1（2，16），
∴B2（﹣6，16），
∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，
∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（﹣6﹣m，16），
把点（﹣6﹣m，16）代入y＝x2+4x﹣5得，16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，
解得m＝1或m＝﹣9（舍去），
∴m的值为1．
（3）由题意，当n＞﹣2时，
∴最大值与最小值的和为（n+2）2﹣9+7＝﹣2．
∴n＝﹣2不符合题意，舍去．
当﹣6≤n≤﹣2 时，
∴最大值与最小值的和为7﹣9＝﹣2，符合题意．
当n＜﹣6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2﹣9﹣9＝﹣2，
解得 n1＝2 或 n2＝﹣6，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2．
24．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG．
（1）求∠EGF的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若D是的中点，BC＝6，求AB的长．
【分析】（1）连接CE，证明CE是直径，从而可证∠BEC＝90°，求出∠BCE＝90°﹣45°＝45°，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）①连接EF，求出∠EFC＝∠FCE＝90°可证CF∥EG，再证明∠CBE＝∠CFG可得BE∥FG，从而可证四边形BEGF是平行四边形；
②延长BC，AD相交于点H，先求出，，再求出，证明△ABH∽△EFH得，代入数据即可求解．
【解答】（1）解：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE恰好是圆的切线，如图，∠ABC的平分线BE交AD于E，连接CE，
∴CE是直径，∠BEC＝90°．
∵∠ABC的平分线BE交AD于E，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝90°﹣45°＝45°，
∵，
∴∠EGF＝∠BCE＝45°；
（2）①证明：连接EF，
∵CE，FG是圆的直径，
∴∠EFC＝∠FCE＝90°，
∴CF∥EG，
∴∠CFG＝∠EGF＝45°，
∵∠CBE＝45°
∴∠CBE＝∠CFG，
∴BE∥FG，
∴四边形BEGF是平行四边形；
②解：延长BC，AD相交于点H，
∵∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BC＝6，
∴．
∵EF⊥BC，
∴．
∵D是的中点，
∴∠DEG＝∠DEC．
∵CF∥EG，
∴∠DEG＝∠H，
∴∠H＝∠DEC，
∴．
∵∠EFH＝∠ABC＝90°，∠H＝∠H，
∴△ABH∽△EFH，
∴，
∴，
∴．

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