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湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试
数学试卷
考试时间：2025年5月17日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则
A． B． C． D．4
2. 已知集合，，则
A． B．
C． D．
3. 已知等差数列的前项和为，若，，则使的最大值为
A． B． C． D．
4. 已知一个圆台母线长为，侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对值为
A． B． C． D．
5. 在中，，，，则
A．2 B． C． D．
6. 2025年第一季度，中国新能源汽车单季出口首破120万辆，全球市占率40%，中国新能源汽车销量多年全球第一，政策推动下充电网络快速扩展. 近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩. 为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试.记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则
A． B． C． D．
7. 设函数，曲线与恰有一个交点，则
A．0 B． C． D．
8. 已知，且，则
A． B． C． D．无法确定，的大小
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论错误的是
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8
D．若样本数据，，，的方差为9，则的方差为
10. 已知抛物线与圆相交于A，B两点，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，又CD是抛物线W过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是
A．
B．过两点分别作抛物线的切线，两切线的交点在圆上
C．
D．当时，
11. 已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：
．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列” . 以下说法正确的是
A．若数列是首项为2，公差为2的等差数列，则为“3阶可分拆数列”
B．若数列满足，则对，不存在正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”
C．若数列的前n项和为，且数列为“1阶可分拆数列”，则实数
D．若数列满足，前n项和为，则当且时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知多项式，则 .
13. 若函数在区间的值域为，则的取值范围为 .
14. 我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为该四面体的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
如左图，在垂棱四面体中，若的边长分别为，则外接球表面积 ；
如右图，在空间直角坐标系中，平面内有圆，直线与圆交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题13分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值.
16.（本题15分）
某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6个大小一样的小球，其中2个为红色，1个为白色，
3个为蓝色. 职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，甲先从箱子中一次抽出3个小球，抽完后将球放回，乙再一次抽3个小球. 各人计分规则如下：若抽出的三个小球颜色相同，则该人得8分；若抽出的三个小球中有两球颜色相同，则得4分；若抽出的三个小球颜色各不相同，则得2分. 若两人第一轮得分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束.
（1）记甲第一轮得分为X，求X的概率分布列及数学期望；
（2）求两人共抽n轮小球的概率.
17.（本题15分）
如图，在斜三棱柱中，，与平面所成角正切值为，，
，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．
（1）求证：；
（2）点在棱上且，求平面与平面夹角的余弦值．
18.（本题17分）
已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点作垂直于x轴的直线，
该直线被E截得的弦长为6.
（1）求E的方程；
（2）若面积为12的的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程；
（3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P，Q，l上存在点S满足
，且，试求的范围.
19.（本题17分）
已知函数.
（1）证明；
（2）若是方程的两个相异实根，当 时，求的取值范围；湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试
数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】因为，所以. 故选：B．
2.【答案】C
【解析】．由，可得，所以．所以. 故选：C．
3.【答案】B
【解析】等差数列中，，.
又，所以，解得.
设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，
可得，解得，，，
，由解得，则使的最大值为. 故选：B.
4.【答案】A
【解析】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为，外圆半径为，
则圆台母线长为，
设圆台上、下底面圆半径分别为，则，
，圆台上下底面圆周长之差的绝对值为. 故选：A．
5.【答案】C
【解析】因为，所以，
即，所以，即，
因为,
所以. 故选：C．
6.【答案】D
【解析】记“从A站调度的1个充电桩是超级快充桩”为事件，“从A站调度的1个充电桩是普通充电桩”为事件，所以.
故选：D．
7.【答案】C
【解析】令函数，
可得，
即，所以函数关于直线对称，
因为函数与恰有一个交点，所以，
可得，解得，
当，时，，所以. 故选：C．
8.【答案】A
【解析】令，则，
当时，，故恒成立，
故在上单调递增，
又，，由零点存在定理得，
令，则，
由上面的求解可知在上单调递增，且存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，故的零点，，所以. 故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】对于A中，由，，解得，所以A正确；
对于B中，由正态曲线的对称性，可得，则，所以B错误；
对于C中，由于，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误；
对于D中，若样本数据，，，的方差为9，则的方差为，所以 D不正确. 故选：BCD.
10.【答案】BC
【解析】对于A，如图，分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，，
由于圆的直径AB过焦点F，则到准线的距离为，
又，，解得，抛物线，故A错误；
对于B，设，两切线交于点，由A可知，抛物线，
易得，
所以直线垂直，所以点在以为直径的圆上，故B正确；
对于C，设直线CD的方程为，，又抛物线，
由 可得，则，，，
（当且仅当时等号成立），故C正确；
对于D，，，
，则，解得或（舍），
，，故D错误. 故选：BC.
11.【答案】ACD
【解析】对于A：由题意可知，，所以，所以为“3阶可分拆数列”；
对于B：存在，理由如下：由已知得，，，即， 对，当正整数时，存在，使得成立，即数列为“1阶可分拆数列”.
对于C：，当时，，当时，，
若数列为“1阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，
当时，，即，解得，当时，，即，
因，所以，又，故方程无解，符合条件的实数的值为0.
对于D：，当时，，
，，
若，①，
②，
由①-②可得
，
，，，
当且时，成立.故D正确，故选：ACD．
12.【答案】18
【解析】令可得，令，，相加可得. 故答案为：18.
13.【答案】
【解析】因为，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
且，，，
因为在区间的值域为，所以，解得，
此时，，
又，，则，故答案为：．
14.【答案】
【解析】如图，连接，
由题知，平行且等于，平行且等于，
所以，，故为平行四边形，
所以对角线，则是的中点，
同理也是的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知为菱形，则，
显然，故，同理，
所以“垂棱四面体”可补为如下图示的长方体，

设长宽高分别为，则其外接球半径，
外接球表面积，
显然，，，又，，，.
同理，题设右图可将补成长方体， 三棱锥外接球表面积为，
设， 联立，得，则，
所以，则，
由为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知中为锐角，
所以只需角为锐角，即，则，解得，
又，，，
所以，
则，
，时最小，最小值为，又时，，
的取值范围是. 故答案为：
15.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得，所以.
由正弦定理得··········································· 5分
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作，垂足为E．在中，由，可得，
又，所以．在中，，因此．······ 5分
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.···························································13分
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．
又由（1）可得，所以．······················ 13分
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得．
由，可得，从而．
在中，，所以．
在中，由正弦定理可得，
由于，所以，
所以.··························································13分
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得．
由，可得．
在中，．
由（1）知，所以在中，，
从而．
在中，，所以．······························· 13分
16.【答案】(1)分布列见解析，. (2)
【解析】（1）X的可能取值为：8，4，2概率分别为：
；；；
所以X的概率分布列为
X 8 4 2
p
. ···················································7分
（2）记乙一轮比赛的得分为Y，事件为“一轮比赛甲乙得分相同”，
则
.
记事件B为“第n轮比赛甲乙得分不同”，则.
所以两人共抽n轮小球的概率
. ························15分
17.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：，，△ABC为等腰直角三角形.
取线段的中点，连接，，
，为的中点，，············································ 1分
，，
四边形是平行四边形，，，
，分别是，的中点，
四边形是平行四边形，，
，，
，，···························································· 4分
，平面，
平面，． ······················································5分
（2）解：由（1）可知，平面，
过点在平面内作，垂足为点，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
直线与平面所成的角为，，，
，，，································ 7分
，，，
，，为的中点，，
以点为坐标原点，在平面内过作的垂线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，·······························8分
，则，
点，，
则，又，
设平面的法向量为，
则，
取，得，·····························································10分
设平面的法向量为，，
则，取，得，································12分
，··················14分
平面与平面夹角的余弦值为．···········································15分
18.【答案】(1) (2或或 (3)
【解析】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，
因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为，
令，解得，所以有 ①
又由离心率为2，得 ②，由①②解得，
所以双曲线E的标准方程是．·····················································3分
（2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性，知
， ······························4分
由题意可知直线BC的斜率不为0，
设直线BC的方程为，
联立直线BC与双曲线E的方程，得，化简整理，得，
所以，且，
所以，
整理得，解得或，
所以直线的方程是或或．······························ 7分
（3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线l斜率存在，设直线l方程， ，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
化简整理，得，
所以，，且，
直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，
，解得．········································ 9分
设点S的坐标为，由，得，
则，变形得到， ，
代入中，解得，························································ 12分
设过点与双曲线E右支相切的直线为，与的交点为，
过点与双曲线E的渐近线平行的直线为，与的交点为，
点的轨迹为线段（不含端点），·····················································14分
由解得， 由解得，
，，
整理得，，
即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆与线段的交点，
，，解得，
的范围是．······························································ 17分
19．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）设，
易证得（当且仅当时取等号），
，当且仅当时取等号，
. （当且仅当时等号成立）··········································5分
（2）设，
对函数，设上一点为，过点的切线方程为，
将代入上式得，
过的的切线方程为，整理得，
要使与有两个交点，则.
由题意可知，由，
令，则，，
，即，，
令，令，
在上递增.
因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立.
在上递增.
又，当时，，
的取值范围是. ···························································· 11分
（3）易证得（当且仅当时取等号），
取（其中），有，有，
又由，有，有，
有，有，有，
可得，有，
有，有，
当且时，．······················································ 17分
附件二
试题双向细目表
科目 数 学
题号 题型 分值 考点（知识点） 能力点 难易度 （难、中、易） 试题 来源
1 单选 5 复数的概念与运算 数学运算 易 原创
2 单选 5 集合的运算、集合的关系 数学运算 易 原创
3 单选 5 等差数列综合 数学运算 易 原创
4 单选 5 空间几何体的表面积与体积 数学运算 易 改编
5 单选 5 平面向量的数量积、平面向量基本定理 数学运算 易 改编
6 单选 5 条件概率、计数原理 数学建模 中 原创
7 单选 5 三角函数的图象与性质 数学运算 中 改编
8 单选 5 函数的单调性、零点 数学运算 数据处理 难 改编
9 多选 6 统计综合 数据处理 易 原创
10 多选 6 直线与抛物线的几何性质综合 数学运算 数据处理 中 原创
11 多选 6 数列新定义问题 数学运算 逻辑推理 难 改编
12 填空 5 二项式定理 数学运算 易 原创
13 填空 5 三次函数的单调性与最值 数学运算 中 改编
14 填空 5 球的切接问题、直线与圆的综合 数学运算 逻辑推理 难 改编
15 解答题 13 三角函数与解三角形 数学运算 易 改编
16 解答题 15 立体几何与空间向量 数学运算 直观想象 中 改编
17 解答题 15 分布列、统计概率综合 数学运算 逻辑推理 中 改编
18 解答题 17 直线与双曲线综合 数学运算 数据处理 难 改编
19 解答题 17 导数综合 数学运算 逻辑推理 难 改编

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