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2024学年第二学期浙江省县域教研联盟高三年级模拟考试
数学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 在复平面内，若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若单位向量，满足，则（ ）
A. B. C. 1 D.
4. 若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知数列的前项和是，若，，则（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
7. 在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ）
A. B. C. 1 D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A B.
C D.
10. 已知抛物线的焦点到准线的距离是4，经过的直线与交于，两点，分别记在点、处的切线为、，，则下列说法正确的是（ ）
A. 准线方程为 B.
C. D. 若，则
11. 设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于中心对称
C. 是函数的图象的一条对称轴
D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若，则________．（用数字作答）
13. 已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是________．
14. 已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19-35） 中年组（36-60） 老年组（61及以上）
调查人数 70 80 30 20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有，，，的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．
（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；
（2）小华记少年组与青年组为“组”，记中年组和老年组为“组”．请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数 年龄层次 合计
组 组
1次
2次
合计
附表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3841 6.635
参考公式：，．
16. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，．
（1）证明：；
（2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
18. 已知椭圆的离心率是，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记圆的方程是．
①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求；
②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：．
19. 1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足．
（1）二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
（2）证明：，．
（3）是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由．
A
D
B
C
C
D
B
C
AC
BCD
AD
##
15.（1）70人的群体中观看2次电影的人数为人；
80人的群体中观看2次电影的人数为人；
30人的群体中观看2次电影的人数为人；
20人的群体中观看2次电影的人数为人.
将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人.
已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，观看2次电影的总人数为72人，总人数为200人.
这200位观众观看该电影的平均次数为.
（2）零假设：观影次数与年龄层次无关联.
从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，所以观看1次电影的合计128人；
A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，所以观看2次电影的合计72人；
A组合计150人，B组合计50人，总人数200人.
整理数据得到列联表：
观影次数 年龄层次 合计
A组 B组
1次 90 38 128
2次 60 12 72
合计 150 50 200
计算卡方统计量：代入可得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16.（1）取中点，连接，由，
所以，都在平面内，则平面，
由平面，故；
（2）由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系，
而，则，且，
设平面的一个法向量为，取的中点，又，
所以，为的垂心，则在上，
设，则，故，而，
所以，可得，故，
所以与平面所成角的正弦值.
17.（1）首先对求导，可得：
.
因为在处有极大值，所以，即，解得或.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极小值点，不符合题意，舍去.
当时，.
令，可得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以是极大值点，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可知，则，其定义域为.
对求导可得：
.
因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.
化简不等式可得：，，即.
令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，.
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为，所以，则.
当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样.
那么在上恒成立，即.
因为，所以，则，解得.
18. （1）
由题设，可得，即椭圆方程为；
（2）①由题设，令，与圆相切，知，可得，
所以，联立整理得，
所以，则，，
所以；
②设，则，而，则，，
与联立得，整理得，
所以或，显然，同理可得，
所以，而，则.
19.（1）巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为，
兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为；
（2）由，可得，故，
所以，，
因为，
所以，
所以，.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足．
反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足．
当时，①，当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，因此④，
所以由⑤可得，对于正偶数，，，
而，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，，
则
则根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足．

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