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第二章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列式子：,,,,,，其中是分式的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2．[［2025·淄博模拟］]下列是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
3．下列分式的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大2倍 D. 扩大4倍
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
6．对于分式方程，有以下几种说法：①最简公分母为；②转化为整式方程为；③原方程的解为；④原方程无解.其中正确的说法有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
7．若，则等于（ ）
A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
8． ，两种型号的机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等.，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A. 60，30 B. 90，120 C. 60，90 D. 90，60
9．若关于的方程没有增根，则的值满足（ ）
A. B. C. D.
10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·长沙］]要使分式有意义，则需满足的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．如果方程与关于的方程的解相同，则的值为_ _ _ _ .
13．[［2024·内江］]已知实数，满足，那么的值为_ _ _ _ .
14．[［2024·达州］]若关于的方程无解，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过段，其中通过段的速度是通过段速度的1.2 倍，则小明通过段的速度是_ _ _ _ .
16．对于代数式,，定义运算“ ”:，例如：.若，则_ _ _ _ .
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
18．（6分）解下列分式方程：
（1） ；
（2） .
19．[［2024·广元］]（8分）先化简，再求值：，其中，满足.
20．（10分）已知关于的分式方程.
（1） 若该分式方程有增根，求的值；
（2） 若该分式方程的解是正数，求的取值范围.
21．（12分）阅读下面的材料，然后解答问题.
解方程：.
解：设，则原方程化为，
方程两边同时乘，得，解得 或.
经检验，或 都是方程 的解.
当 时，，解得；
当 时，，解得.
经检验，或 都是原分式方程的解.
原分式方程的解为 或.
上述这种解分式方程的方法被称为换元法.
问题：模仿上述换元法解方程：.
22．（12分）阅读下列材料：
，，， ，，
.
解答下列问题：
（1） 在和式+…中，第6项为_ _ _ _ _ _ _ _ ，第项是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：.
23．（16分）为了迎接“十一”长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋类型 甲 乙
进价/（元/双）
售价/（元/双） 240 160
已知用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1） 求的值.
（2） 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21 700元，且不超过22 300元，该专卖店有几种进货方案？（利润 售价-进价）
（3） 在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
第二章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列式子：,,,,,，其中是分式的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
2．[［2025·淄博模拟］]下列是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．下列分式的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
4．如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大2倍 D. 扩大4倍
【答案】A
【点拨】把分式中的和都扩大为原来的2倍，
即，即分式的值不变，故选．
5．如图，若，则表示的值的点落在（ ）
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
【答案】C
6．对于分式方程，有以下几种说法：①最简公分母为；②转化为整式方程为；③原方程的解为；④原方程无解.其中正确的说法有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】D
7．若，则等于（ ）
A. 9 B. 1 C. 7 D. 11
【答案】C
8． ，两种型号的机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等.，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（ ）
A. 60，30 B. 90，120 C. 60，90 D. 90，60
【答案】D
【点拨】设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，，型机器人每小时搬运90千克，型机器人每小时搬运60千克．
9．若关于的方程没有增根，则的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【点拨】方程去分母，得.
解关于的方程，得.
关于的方程没有增根，
.
10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
【答案】C
【点拨】解不等式①，得，解不等式②，得. 关于的不等式组的解集为，，解得.方程可化为，解得.
关于的分式方程的解为正数，且，解得且，且，
所有满足条件的整数的值之和为.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·长沙］]要使分式有意义，则需满足的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．如果方程与关于的方程的解相同，则的值为_ _ _ _ .
【答案】4
13．[［2024·内江］]已知实数，满足，那么的值为_ _ _ _ .
【答案】1
【点拨】.
， 原式．
14．[［2024·达州］]若关于的方程无解，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或2
【点拨】，去分母，得，解得. 关于的方程无解， 当或时，该分式方程无解，解得或（经检验是原方程的解）.
15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中，在绿灯亮时，小明共用通过段，其中通过段的速度是通过段速度的1.2 倍，则小明通过段的速度是_ _ _ _ .
【答案】1
【点拨】设小明通过段的速度是，则通过段的速度是.
根据题意可列方程，得，解得，经检验，是原方程的解且符合题意．故通过段的速度是．
16．对于代数式,，定义运算“ ”:，例如：.若，则_ _ _ _ .
【答案】5
【点拨】，
，
解得.
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） 【解】原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
18．（6分）解下列分式方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】可化为，方程两边都乘，得，去括号、移项，得，解得，经检验，是原分式方程的解， 原分式方程的解为．
（2） 可化为，去分母，得，去括号，得，解得，经检验，是原分式方程的增根， 原分式方程无解．
19．[［2024·广元］]（8分）先化简，再求值：，其中，满足.
【解】原式.，， 原式．
20．（10分）已知关于的分式方程.
（1） 若该分式方程有增根，求的值；
（2） 若该分式方程的解是正数，求的取值范围.
【答案】20．【解】去分母，得，整理，得，
（1） 由分式方程有增根，得，即，把代入，得.
（2） 解分式方程，得，根据分式方程的解为正数，得，且，解得且.
21．（12分）阅读下面的材料，然后解答问题.
解方程：.
解：设，则原方程化为，
方程两边同时乘，得，解得 或.
经检验，或 都是方程 的解.
当 时，，解得；
当 时，，解得.
经检验，或 都是原分式方程的解.
原分式方程的解为 或.
上述这种解分式方程的方法被称为换元法.
问题：模仿上述换元法解方程：.
【解】原方程化为，设，则原方程化为，方程两边同时乘，得，解得或，经检验，或都是方程的解.当时，，该方程无解；当时，，解得，经检验，是原分式方程的解， 原分式方程的解为.
22．（12分）阅读下列材料：
，，， ，，
.
解答下列问题：
（1） 在和式+…中，第6项为_ _ _ _ _ _ _ _ ，第项是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两数之差，使得除首末两项外的中间各项可以抵消，从而达到求和的目的，受此启发，请你解下面的方程：.
【答案】（1） ；
（2） 【解】将分式方程变形为，
整理得，方程两边都乘，得，解得．经检验，是原分式方程的根．
23．（16分）为了迎接“十一”长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋类型 甲 乙
进价/（元/双）
售价/（元/双） 240 160
已知用3 000元购进甲种运动鞋的数量与用2 400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1） 求的值.
（2） 要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21 700元，且不超过22 300元，该专卖店有几种进货方案？（利润 售价-进价）
（3） 在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】
（1） 【解】根据题意，得，解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
故.
（2） 由（1）易知，乙种运动鞋的进价为80元/双.
设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双.
根据题意，得
解得.
是正整数， 共有（种）进货方案.
（3） 设总利润为元，则.
①当时，，则随的增大而增大，
当时，取最大值，此时,
即应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当时，,，（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，取最大值，此时,
即应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.
第7页

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