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连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．某单位老、中、青人数之比依次为.现采用分层随机抽样方法从中抽出一个容量为的样本，若样本中青年人人数为20，则此样本的容量为（ ）
A．40 B．50 C．70 D．100
4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则内的任何直线都与平行
C．若，，则 D．若，，则
5．已知向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a的值为0.010 (
a
) B．估计样本数据的众数m=75
C．估计样本数据的75%分位数为88
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7200人
8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.设复数满足，则下列说法正确的是(　　)
A.为纯虚数 B.在复平面内，对应的点位于第三象限
C.的虚部为2i D.|z|=
10．2021年某地居民人均可支配收入的构成比例如图所示，已知该地居民人均经营净收入为5250元，则（ ）
A．2021年该地居民人均经营净收入占居民人均可支配收入的21%
B．2021年该地居民人均可支配收入为25000元
C．2021年该地居民人均转移净收入低于人均经营净收入
D．2021年该地居民人均工资性收入比人均转移净收入多6750元
11．如图，在直三棱柱中是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直三棱柱的外接球半径为
C．的值可以为
D．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.数据12，23，15，19，17，27，14，30的第70百分位数为
13.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=AB，则异面直线AB1与BD所成角的余弦值为　　　　　.
14．已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ．
四、解答题(本题共5小题，共77分)
15.（13分）已知=(1,0),=(2,1).
(1)若=2-,=+m,且A,B,C三点共线,求m的值.
(2)当实数k为何值时,k-与+2垂直
16．（15分）△ABC中的内角，，的对边分别是，，，若，.
（1）求；
（2）若，点为边上一点，且，求的面积.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面.
18．（17分）随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
(1)求a；
(2)如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
19．（17分）如图，在平面四边形中，是等边三角形，是等腰三角形，且，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，记的重心为，若，求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角正切的最大值.
连城一中2024-2025学年下期高一月考2数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B B B D B BD ABD
题号 11
答案 AD
23.
13.答案　
14．/ 作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度.
15.解: (1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以=2a-b=2(1,0)-(2,1)=(0,-1),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
又A,B,C三点共线,所以∥,所以-1×(2m+1)=0×m,解得m=-................6分(2)因为ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),ka-b与a+2b垂直,
所以(ka-b)·(a+2b)=(k-2)×5+(-1)×2=0,解得k=.........................13分16．（1）（2）10
17．（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以.
因为，，，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以..............7分
（2）设，连接，

则是的中点，
又因为是的中点，所以
因为平面，平面，
所以平面...............15分
18．(1)
(2)10万
(3)小张
19．（1）设等边三角形的边长为2，
则，连接交于点.
因为是等腰三角形，所以，即，
因为，，.
所以，，
，面，
所以面，因为面，
所以面面...............................................5分
（2）在中，，，，
由余弦定理得，所以，
所以三棱锥为正三棱锥.
因为是的重心，
所以面，则，
连接并延长交于，
连接，可得，，
所以面，
所以面面，过作，
因为面面，GH面，
所以面.
取的中点为，由题意知是的中点.
所以，所以为所求线面角
在中，，，
所以..................................................10分
（3）因为，设，过作.
因为，可得平面，
所以平面平面，所以PN平面，
可得，，
过作，连接，
易得NFBC可得为所求夹角.
在中，，，
所以，
，
所以，解得，
所以平面与平面夹角正切的最大值................17分

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