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福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．-1
2．已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
4．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据：
x 1 3 6 10
y 8 a 4 2
他由此得到回归直线方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量x与y线性负相关 B．当时可以估计
C． D．变量x与y之间是函数关系
5．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
6．已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中正确的有（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
10．如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ）
A． B． C． D．平面
11．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
三、填空题
12．已知随机变量，若，则的值为 ．
13．已知空间三点，，，且的面积为，则 ．
14．已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则 ，并求的最小值为 （其中为自然对数的底数）
四、解答题
15．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆
上一点，且，.
(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)求点到平面的距离.
16．已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若曲线在处的切线平行于轴，求在上的值域.
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，．
(1)证明：平面；
(2)若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18．某商超通过产品 价格 渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下：
第周 1 2 3 4 5 6 7
商超利润（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55
(1)若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该商超下周的利润；
(2)该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得二等奖”的概率为.某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额（元）的分布列及数学期望.
附：；参考数据：
19．已知函数，其中为常数．
(1)若恰有一个解，求的值；
(2)若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C B D D BD CD
题号 11
答案 ABD
12．/
13．或，
14．
15．(1)
(2)
16．(1)递增区间为，递减区间为
(2)
17．(1)证明见解析
(2)
18．(1)，59万元
(2)分布列答案见解析，数学期望：（元）
19．(1)
(2)由已知可得，求导可判断恒成立，即可得出结论；恰有两个零点，等价于，有两解，.由，可得（记．进而可得，由单调递增．
可得，则有，化简可得，同理．化简计算可证得结果.

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