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东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题高一数学
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
2．已知向量 ，且则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
4．在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A． B． C． D．
6．将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为.在棱长为2的正方体中，则（ ）
A． B． C．4 D．
8．在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得 6 分，选错或不选得 0 分，部分选对的得部分分．)
9．已知复数z满足：，则（ ）
A． B．的虚部是3
C． D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限
10．如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
11．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．三棱锥外接球表面积为
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，其中第14题第一空3分，第二空2分.把答案填在答题卡中的横线上．)
12．已知向量满足，，且，则与的夹角为 .
13．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”.已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积等于 .
我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为
.
解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
(13分)已知复数，其中．
设，若是纯虚数，求实数m的值；
(2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．
16．（15分）已知在中，内角的对边分别为，且满足．
(1)求； (2)若，且，求的周长．
17.（15分）如图，中，是的中点，与交于点.
(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面；
(3) 求点D到平面的距离.
（17分）在中，内角对应的边分别为，，，．
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有 被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
东莞市 2024-2025 学年第二学期七校联考试题（高一数学）参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C C A B D B AC ABD AD
12． 13． 14.
（13分）
（1）， 2分
因为是纯虚数，所以且，解得； 5分
（2）当时，，故， 7分
，故． 9分
设，则； 11分
所以在上的数量投影向量为． 13分
（15分）
（1）已知，
则由正弦定理有. 3分
又∵，则， 5分
因为为三角形内角，则，. 7分
（2）由题可知：，所以， 10分
由余弦定理可得，即， 12分
所以，可得，则， 14分
所以的周长为. 15分
（15分）
（1）. 3分
（2）
7分
因为三点共线，所以，解得. 9分
，由（1）可知，所以， 11分
得，则， 12分
所以 14分
所以的最大值为. 15分
18．（17分）
（1）
如图，连接，设，连接. 1分
因，，可得，则， 2分
又，则得，
因平面，平面，故平面. 4分
（2）由（1）已得，因，故四边形为菱形，则，
因平面 平面则，
又平面，故平面. 8分
在中，，
因平面 平面则
在中，,同理，，，
10分
故满足勾股定理 ,则, 11分
故 12分
而 ,设点D到平面的距离为d，
由等体积法得 , 得 = 16分
故点D到平面的距离为 17分
19．（17分）
（1）由，得，
即， 2分
在中，由正弦定理得， 4分
由余弦定理得，而， 5分
所以． 6分
（2）由，得， 7分
则， 9分
所以. 12分
（3）依题意，
，
16分
当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.
17分

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