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2025人教A版数学必修第一册
习题课　三角恒等变换的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点二]若tan α=2,则=(　　)
A. B. C. D.1
2.[探究点二]化简(sin+cos)2+2sin2()得(　　)
A.2+sin α B.2+sin(α-)
C.2 D.2+sin(α+)
3.[探究点一]函数f(x)=sin xcos x+cos2x-1的值域为(　　)
A. B.
C.[-1,0] D.
4.[探究点二]=(　　)
A. B.2 C. D.-1
5.[探究点四·2024江苏常州高一期末](多选题)设函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x,若函数y=f(x+φ)为偶函数,则φ的值可以是(　　)
A. B. C. D.
6.[探究点四]函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期T是　　　　.
7.[探究点三]如图,已知OAB是半径为2的扇形,OA⊥OB,C是弧AB上的动点,过点C作CH⊥OA,垂足为H.某地区欲建一个风景区,该风景区由△AOC和矩形ODEH组成,且OH=2OD,则该风景区面积的最大值为　　　　　.
8.[探究点一、二、四]已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
B级　关键能力提升练
9.已知α满足sin α=,则coscos(-α)=(　　)
A. B.
C.- D.-
10.已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　)
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(0,π)内只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为
D.直线x=为f(x)图象的一条对称轴
11.下列各点中,是函数f(x)=sin x-sin的一个对称中心的是(　　)
A. B.
C. D.
12.[2024山西忻州高三阶段练习]已知sin(α+)=,则sin(2α+)=(　　)
A. B.-
C. D.-
13.(多选题)以下函数在区间(0,)内单调递增的有(　　)
A.y=sin x+cos x
B.y=sin x-cos x
C.y=sin xcos x
D.y=
14.求值:sin 50°(1+tan 10°)=　　　　　.
15.=　　　　　.
16.[2024山东威海高一期末]已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-.
(1)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围;
(2)若锐角α,β满足f()=,cos(α+β)=-,求sin β.
C级　学科素养创新练
17.如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.
(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
(2)若R=45,求当θ为何值时,矩形ABCD的面积S最大 最大面积是多少 (取≈1.414)
答案：
1.C　因为tan α=2,则.故选C.
2.C　原式=1+2sincos+1-cos[2()]=2+sin α-cos(-α)=2+sin α-sin α=2.
3.A　f(x)=sin xcos x+cos2x-1
=sin 2x+-1=sin 2x+cos 2x-
=sin,
因为-1≤sin≤1,所以f(x)的值域为.
4.A　.故选A.
5.BCD　因为f(x)=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=2sin(2x-)-1,
所以y=f(x+φ)=2sin(2x+2φ-)-1.又函数y=f(x+φ)为偶函数,
所以2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=,k∈Z,
所以当k=0,1,3时φ的值可以是.故选BCD.
6.π　f(x)=sin 2x-cos 2x-(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-=sin(2x+)-,
所以T==π.
7.　设∠COA=θ,其中θ∈(0,),则CH=2sin θ,OH=2cos θ.
又OH=2OD,则OD=cos θ.
则风景区面积S=OH·OD+·OA·CH=2cos2θ+2sin θ.
又cos2θ+sin2θ=1,则2cos2θ+2sin θ=-2sin2θ+2sin θ+2=-2(sin θ-)2+,
当且仅当sin θ=,即θ=时取等号.
8.解 (1)f(x)=
=
==2cos 2x,
所以f=2cos=2cos .
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin.
因为x∈,所以2x+,
所以当2x+时,g(x)max=,当2x+时,g(x)min=1.
9.A　coscos=cos [-(-α)]·cos(-α)=sin(-α)cos(-α)
=sin(-2α)=cos 2α=(1-2sin2α)=,故选A.
10.D　函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2(sin 2x-cos 2x)=2sin(2x-),可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T==π,故A,C错误;
令f(x)=0,得2x-=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,
可得f(x)在区间(0,π)内的零点为,故B错误;
由f()=2sin()=2,可得直线x=为f(x)图象的一条对称轴,故D正确.故选D.
11.C　f(x)=sin x-sin=sin x-sin xcos-cos xsinsin x-cos x=sin.
令x-=kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,
∴f(x)的对称中心为,k∈Z.
故选C.
12.B　由2α+=2(α+)-,得sin(2α+)=sin[2(α+)-]=-cos[2(α+)=-[1-2sin2(α+)]=-(1-)=-.故选B.
13.BD　对于A选项,y=sin x+cos x=sin(x+),当x∈(0,)时,x+∈(),所以函数在区间(0,)内不单调;对于B选项,y=sin x-cos x=sin(x-),当x∈(0,)时,x-∈(-),所以函数在区间(0,)内单调递增;对于C选项,y=sin xcos x=sin 2x,当x∈(0,)时,2x∈(0,π),所以函数在区间(0,)内不单调;对于D选项,当x∈(0,)时,y==tan x,所以函数在区间(0,)内单调递增.
14.1　sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°·
=sin 50°·=1.
15.2　因为sin220°-cos220°=(sin 20°-cos 20°)(sin 20°+cos 20°),
cos 155°=-cos 25°=-cos(45°-20°),
=|cos 20°-sin 20°|=cos 20°-sin 20°,
所以
=
=
==2.
16.解 (1)f(x)=2cos2x+2sin xcos x-=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),
因为x∈[0,],则2x+∈[],
所以sin(2x+)∈[-,1],所以f(x)∈[-,2].
(2)由(1)可知f()=2sin[2()+]=,所以sin α=,
因为α∈(0,),所以cos α=,因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π),
因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=,
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α=.
17.解 (1)由题意,可知点M为的中点,所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F(图略),则BC=AD=2Rsin θ,OF=Rcos θ,
所以AB=OF-AD=Rcos θ-Rsin θ.
所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ)=R2(2sin θcos θ-2sin2θ)=R2(sin 2θ-1+cos 2θ)=R2sin(2θ+)-R2,θ∈(0,).
(2)因为θ∈(0,),所以2θ+∈(),
所以当2θ+,即θ=时,
面积S有最大值,且最大值为(-1)R2=(-1)×452≈0.414×2 025=838.35.
故当θ=时,矩形ABCD的面积S最大,最大面积约为838.35.
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