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2025人教A版数学必修第二册
第六章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量a,b,下列条件中,能得到a=b的是(　　)
A.|a|=|b| B.a与b的方向相同 C.a=0,b为任意向量 D.a=0且b=0
2.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是(　　)
A. B. C. D.
3.在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　)
A.1 B. C. D.3
4.已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5.[2024广东东莞高一检测]已知a=(x,1),b=(2,-2),若向量a,b的夹角为钝角,则实数x的取值范围为 (　　)
A.(-∞,1) B.(-∞,1]
C.(-∞,-1)∪(-1,1) D.(-∞,-1)∪(-1,1]
6.在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,BC=2AD,设=λ+μ,则λ+μ=(　　)
A. B. C.2 D.
7.[2024广东茂名高一期中]甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是(　　)
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin B+2cos2=3,,则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A.12π B.16π C.24π D.64π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0且|a|=2,则(　　)
A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=6 D.a·b=4
10.已知满足C=30°,AB=4,AC=b的△ABC有两个,那么b可能是(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
11.在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则下列说法正确的是(　　)
A.A+B=
B.|tan A|=
C.若A,B为不同象限的角,则tan(A+B)+的最大值为-2
D.=4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.
13.如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=　　　　.
14.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知向量a=(1,2),b=(3,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
16.(15分) [2024安徽滁州高一检测]如图所示,在 ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示;
(2)若,求证:D,O,N三点共线.
17.(15分)
如图,在△ABC中,M是边BC的中点,N是线段BM的中点.
(1)用分别表示;
(2)若直线EF交AB于点E,交AM于点G,交AC于点F,=λ=μ(λ,μ均为正实数),=2,求λ+2μ的最小值.
18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+2c)cos B+bcos A=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,求△ABC的周长的最大值.
19.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.
第六章测评
1.D　由|a|=|b|,可得它们的模相等,但方向不确定,故不能推出a=b,故排除A;a与b的方向相同,但不知它们的模是否相等,故不能推出a=b,故排除B;由于零向量的模为零,而|b|不一定为零,故排除C;由于所有的零向量都相等,故D正确.
2.A　∵A(4,1),B(7,-3),=(3,-4),故与向量同向的单位向量为.故选A.
3.D　设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.
4.C　设a与b夹角为θ,由b=(1,3),得|b|=,又|a|=2,a·b=4,∴cos θ=.
5.C　由题意可知a·b<0且向量a,b不共线,
则解得x<1且x≠-1,
所以实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).故选C.
6.D　)=)==,
∴λ+μ=.故选D.
7.
A　假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D,如图所示,可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,
由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x=28x2-20x+100.根据二次函数性质可知,当x=小时时,CD取得最小值,此时甲、乙两船相距最近.故选A.
8.B　因为sin B+2cos2=3,所以sin B+2·=3,所以sin B+cos B=2,即sinB+=1,又B∈(0,π),所以B+∈,所以B+,解得B=.因为,由余弦定理得,即,又B=,所以sin B=,所以,由正弦定理得,所以b=4,设△ABC的外接圆的半径为R,所以2R==8,解得R=4,所以△ABC的外接圆的面积为πR2=16π.
9.ABC　因为|a+2b|=|a|,所以|a+2b|2=|a|2,即a2+4a·b+4b2=a2,整理可得a·b+b2=0,再由a·b+a2=0,且|a|=2,可得a2=b2=4,所以|b|=2,a·b=-4,A选项正确,D选项错误;cos==-1,即向量a,b的夹角=π,故向量a,b共线且方向相反,所以a+b=0,B选项正确;|a-2b|==6,C选项正确.故选ABC.
10.ABC　在△ABC中,C=30°,AB=4,AC=b,由正弦定理,得,即,解得sin B=.由题意知,当sin B∈时,满足条件的△ABC有两个,即<1,解得411.BC　对于A,由cos2A+cos2B=1,得|cos B|=|sin A|,可得A+B=或A-B=,故A错误;对于B,由|cos B|=|sin A|,得|tan A|=,故B正确;对于C,因为A,B为不同象限的角,所以tan Atan B=-1,所以A,B中必有一角大于,所以C∈0,,tan C>0,所以tan (A+B)+=-tan C+=-≤-2,当且仅当tan C=1时,等号成立,故C正确;对于D,因为sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin 2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=2sin Ccos(A-B)-2sin Ccos(A+B)=4sin Asin Bsin C,所以=4tan Atan B=±4,故D错误.故选BC.
12.2　由题意可知△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2.
13.
　如图所示,建立以点A为坐标原点,以直线AB为x轴,直线AD为y轴的平面直角坐标系,则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),
=(3,-6),=(6,2).由于∠EMF就是的夹角,
∴cos∠EMF=.
14.-1　
(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立.此时,-1.
(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1.
15.解(1)由a∥b,得x-2×3=0,解得x=6.由a⊥c,得1×2+2y=0,解得y=-1.故b=(3,6),c=(2,-1).
(2)∵m=2a-b=(-1,-2),n=a+c=(3,1),∴m·n=-1×3-2×1=-5,|m|=,|n|=,∴cos==-.
又0≤≤π,∴向量m,n的夹角为.
16.(1)解 因为AN=AB,所以a,所以a-b.因为BM=BC,所以b,所以=a+b.
(2)证明 因为,所以a+b=a+b,则a+b-b=a-b,a-b,
所以,即证得D,O,N三点共线.
17.解(1)由题意,)=)=.
(2)由=λ=μ(λ,μ均为正实数),=2,得,因为E,F,G三点共线,所以=1,则λ+2μ=(λ+2μ)=1+≥1+2=1+,当且仅当,即λ=μ=时取等号,所以λ+2μ最小值为1+.
18.解(1)已知(a+2c)cos B+bcos A=0,
则(sin A+2sin C)cos B+sin Bcos A=0,
即sin Acos B+cos Asin B+2sin Ccos B=0,
sin(A+B)+2sin Ccos B=0,sin C+2sin Ccos B=0,
∵sin C >0,∴cos B=-.∵0(2)∵b=3,sin B=,∴由正弦定理得=2,即a=2sin A,c=2sin C,∴△ABC周长为a+b+c=2(sin A+sin C)+3=2sin A+sin-A+3=2sin+3.∵019.(1)证明由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.
(2)解由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∴AD=b,DC=b.在△ABD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDA=,
在△CBD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDC=.
∵∠BDA+∠BDC=π,∴cos∠BDA+cos∠BDC=0.
即=0,得33b2=9c2+18a2.
∵b2=ac,∴9c2-33ac+18a2=0.∴c=3a或c=a.
在△ABC中,由余弦定理的推论知,cos∠ABC=,当c=3a时,cos∠ABC=>1(舍);
当c=a时,cos∠ABC=.综上所述,cos∠ABC=.
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