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2025人教A版数学必修第二册
第六章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法中,正确的是(　　)
A.有相同起点的两个非零向量不平行
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b
D.若a≠b,则a与b不是共线向量
2.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.45°或135°
3.设向量a,b不平行,向量λa+2b与a+3b平行,则实数λ=(　　)
A. B. C. D.
4.[2024河北保定高一月考]已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a·(a+b)=-1,则|a+2b|=(　　)
A. B.2 C.5 D.20
5.设D为△ABC所在平面内一点,=2,则(　　)
A.=-
B.=-
C.
D.
6.[2024江苏宿迁高一质检]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccos A=b+ccos B,则△ABC为(　　)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
7.不解三角形,下列问题中有两组解的是(　　)
A.a=2,b=3,B=105° B.a=2,b=3,B=35°
C.a=2,b=3,A=90° D.a=3,b=2,B=35°
8.在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC=2=0,=λ,若=29,则λ=(　　)
A. B. C. D.
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.[2024四川成都高一月考]已知a=(t,1),b=(2,t),则下列说法正确的是(　　)
A.|a|的最小值为1
B.若a⊥b,则t=0
C.若t=1,与a垂直的单位向量只能为,-
D.若向量a与向量b的夹角为钝角,则t的取值范围为(-∞,0)
10.[2024河南郑州高一月考]如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥AB,AD=AB=3DC,AE=AD,则下列等式正确的是(　　)
A.+3
B.
C.
D.=-
11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个说法中正确的是(　　)
A.若,则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形
三、填空题
12.已知P1(-1,1),P2(2,3),若=-3,则点P的坐标为　　　　　.
13.设一条河的两岸互相平行,河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向4 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为　　　 m/s.
14.在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为　　　　　.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.[2024广东惠州高一段考]已知在平面直角坐标系中,向量a=(1,-2),b=(-2,6).
(1)若c∥(2a+b),且|c|=3,求向量c的坐标;
(2)若a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
16.[2024广东茂名高一质检]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,b=2sin B.
(1)求a;
(2)若△ABC的面积为,求△ABC的周长.
17.[2024辽宁大连高一质检]在△ABC中,=a,=b,=2,D为线段AC上任意一点,BD交AE于点O.
(1)若=2,
①用a,b表示;
②若=λ,求λ的值.
(2)若=x+y,求的最小值.
18.在△ABC中,内角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,且满足cacos B-b=a2-b2.
(1)求角A;
(2)若a=,求b+c的取值范围.
19.要将一件重要物品从某港口O用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.
第六章综合训练
1.C　对于A,向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,故A错误.
对于B,两个向量的模相等,但方向可以不同,故B错误.
对于C,若a=b,则a,b必定共线,故a∥b,故C正确.
对于D,当a≠b时,它们可以模长不相等,但可以同向或反向,故a与b可以为共线向量,故D错误.故选C.
2.B　由正弦定理,得,则sin B=.因为BC>AC,所以A>B,而A=60°,所以B=45°.
3.A　由向量λa+2b与a+3b平行,得λa+2b=k(a+3b)=ka+3kb,k∈R,而向量a,b不平行,于是λ=k,3k=2,所以λ=k=.故选A.
4.B　因为a·(a+b)=-1,|a|=2,所以a2+a·b=4+a·b=-1,所以a·b=-5,又|b|=3,所以|a+2b|==2.故选B.
5.B　=2,
=2(),=-.
∵由已知可知不共线,
前边的系数唯一确定.故选B.
6.D　由余弦定理可得a+c=b+c,即2a2b+ab2+ac2-a3=2ab2+a2b+c2b-b3,整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
7.D　选项A中,a选项B中,a选项C中,a选项D中,a>b>asin B,B为锐角,有两组解.故选D.
8.D　建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y),因为AC=2,∠ABC=120°,所以BO=1.
因为=0,所以,即M是BC的中点,
所以A(-,0),M,D(0,-1),C(,0),
所以=,=(,1)=λ=λ(x,y+1),由题意知λ≠0.
故N-1,所以=-1,所以+-1=29,即+4=29,即λ=.故选D.
9.AB　对A,|a|=,则当t=0时,|a|取最小值1,故A正确;对B,若a⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B正确;对C,若t=1,a=(1,1),易知-也是与a垂直的单位向量,故C错误;对D,若a与b的夹角为钝角,则cos=<0,且向量a与向量b不共线,即t2-2≠0,解得t<0且t≠-,故D错误.故选AB.
10.
ABC　以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨令DC=1,
则A(0,0),B(2,0),E(0,1),D(0,3),C(1,3).
对于A,=(1,3),=(2,0),=(-2,1),令=λ+μ,解得λ=,μ=3,所以+3,故A正确;
对于B,=(-2,3),令=m+n,解得m=,n=,所以,故B正确;
对于C,=(-1,3),令=p+q,解得p=,q=-,故C正确;
对于D,设=x+y,解得x=-,y==-,故D错误.故选ABC.
11.AC　由,
利用正弦定理可得,
即tan A=tan B=tan C,即A=B=C,
所以△ABC是等边三角形,A正确;
由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,
△ABC是等腰三角形或直角三角形,B不正确;
由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,
即sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,
则A=B,△ABC是等腰三角形,C正确;
由余弦定理的推论可得cos C=>0,C为锐角,A,B不一定是锐角,D不正确.
12.,4　设P(x,y),由P1(-1,1),P2(2,3),=-3,得(x+1,y-1)=-3(2-x,3-y)可得x+1=-3(2-x),y-1=-3(3-y),解得x=,y=4.所以点P的坐标为,4.
13.10　为了使航向垂直河岸,船头必须斜向河的上游,设船在静水中的速度为v1,方向斜向河的上游,河水的速度为v2,方向平行于河岸,指向河的下游.
|v2|=2 m/s.
船在静水中的速度与河水的速度的合速度v垂直于河岸,且|v|=4 m/s.
则|v1|==10(m/s).
14.　由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=.设对角线BD与AC交于点E,则CE2=()2-,即CE=.所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2.
15.解(1)设c=(x,y),由题意知2a+b=(0,2).
因为c∥(2a+b),所以2x=0×y,x=0.
因为|c|=3=,所以y=±3,
所以c=(0,3)或c=(0,-3).
(2)由题意a=(1,-2),b=(-2,6),则a+λb=(1-2λ,-2+6λ).
当a与a+λb共线时,1×(-2+6λ)=-2×(1-2λ),λ=0.
因为a与a+λb的夹角为锐角,所以a·(a+λb)=1×(1-2λ)-2×(-2+6λ)>0,解得λ<,且λ≠0,所以当a与a+λb的夹角为锐角时,实数λ的取值范围为(-∞,0)∪0,.
16.解(1)由已知b=2sin B,得=2,
由正弦定理得=2,
则a=2sin A=2,即a=.
(2)S△ABC=bc·sin A=,得bc=2.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=(b+c)2-3bc,
即3=(b+c)2-6,则b+c=3,
所以a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+.
17.解(1)①因为=2,所以,
故在△ABE中,
=)=
=a+b.
②因为B,O,D三点共线,设=t(0所以+t+t()=(1-t)+t.
因为=2,所以,
所以=(1-t).
又由①及已知,=λ=-,
所以解得λ=-.
(2)因为=2,又A,O,E三点共线,设=m(0所以+m+m()=+m=(1-m),
又因为=x+y,所以
所以[2(1-m)+(2m+1)]=2+≥2+2=,
当且仅当,即m=时,等号成立,
所以的最小值为.
18.解(1)因为cacos B-b=a2-b2,
由余弦定理得cab=a2-b2,
所以a2=b2+c2-bc.
因为a2=b2+c2-2bccos A,
所以cos A=,又A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得=2,
所以b=2sin B,c=2sin C,
所以b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin(A+B)
=2sin B+2sin Acos B+2cos Asin B=3sin B+cos B
=2sinB+.
因为B∈0,,所以B+∈.
所以sinB+∈,1,则b+c∈(,2].
19.解(1)(方法一)设相遇时小艇航行的距离为s,
则s=
=,
故当t=时,smin=10海里,v==30,
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.
(方法二)若相遇时小艇的航行距离最短,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,如图①所示.在Rt△OAC中,OC=20cos 30°=10,AC=20sin 30°=10,
又AC=30t,OC=vt,所以t=,v==30.
图①
图②
故小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最短.
(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图②所示,
则v2t2=400+900t2-2×20×30t×cos(90°-30°),即v2=900-.
∵0∴900-≤900,即≤0,解得t≥.
又t=时,v=30.
故v=30时,t取得最小值,且最小值等于.
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时.此时小艇能在最短时间内与轮船相遇.
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