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2025人教A版数学必修第二册
第七章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,则实数λ=(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.设a∈R,若复数的虚部为3(其中i为虚数单位),则a=(　　)
A.- B.-3 C. D.3
4.复平面内的平行四边形OABC的顶点A和C(O是坐标原点)对应的复数分别为4+2i和-2+6i,则点B对应的复数为(　　)
A.2+6i B.2+8i
C.6+2i D.8+2i
5.已知z1=a+i,z2=1+i,a∈R,若是纯虚数,则+2+3+…+2 023=(　　)
A.1 B.-1 C.i D.-i
6.已知复数z满足|z-i|=1,则|z-3-5i|的最大值是(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
7.[2024河南郑州高一月考]复数z满足|z-5|=|z-1|=|z-i|,则|z|=(　　)
A. B. C.3 D.5
8.已知复数z1和z2满足|z1|=|z1-z2|=1,|z1+z2|=,则|z2|=(　　)
A.1 B. C. D.2
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数z1=1-i,z2=2-i,z3=2+2i在复平面内对应的点分别为A,B,C,且O为复平面内的原点,则(　　)
A.z1+z2的虚部为-2i
B.z2-z3为纯虚数
C.OA⊥OC
D.以|OA|,|OB|,|OC|为三边长的三角形为钝角三角形
10.已知z1,z2是复数,则下列结论正确的是(　　)
A.若>0,则>-
B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z2
C.||=||2
D.非零复数z3,满足z1z3=z2z3,则z1=z2
11.[2024山东青岛高一检测]已知复数z,w均不为0,则(　　)
A.z2=|z|2 B.
C. D.=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在复平面内,复数6-5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是　　　　　.
13.[2024福建南平高一期中]方程x2+4x+6=0在复数范围内的解集是　　　　　　　　.
14.下列关于复数的命题,是真命题的是　　　.(填序号)
①i+i2+i3+i4=0;②若|z|=1,则;③若z+=0,则z是纯虚数;④对任意实数a>0,都有2 022+a+-1i是虚数.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知复数z=+(m2-2m-15)i(i是虚数单位).
(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;
(2)若z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.
16.(15分)已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求复数z和|z|;
(2)若z1=i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.
17.(15分)[2024福建福州高一期中]设复数z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.
(1)在复平面内,复数z1+z2对应的点在实轴上,求z1z2;
(2)若是纯虚数,求|z1|.
18.(17分)[2024浙江宁波高一期中]已知复数z1=a+i,z2=1-ai(a∈R,i是虚数单位).
(1)若z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;
(2)若z1是实系数一元二次方程x2-2x+2=0的根,求实数a的值;
(3)若z1=,且+mz1+n(m,n∈R)是实数,求实数m的值.
19.(17分)已知复数z=a+i(a∈R),i为虚数单位.
(1)若|z|=1,求a的值;
(2)若为实数,求a的值;
(3)若z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,求a,b的值.
第七章测评
1.B　z=(1+λ)+(λ-1)i,因为复数z=(1-i)+λ(1+i)是纯虚数,所以1+λ=0,且λ-1≠0,解得λ=-1.
2.D　∵i(1-z)=1,∴z==1+i,=1-i.
∴z+=2.故选D.
3.A　复数,因为其虚部为3,所以-=3,可得a=-.
4.B　,∴点B对应的复数为4+2i+(-2+6i)=2+8i.故选B.
5.B　z1=a+i,z2=1+i,则i,是纯虚数,解得a=-1,=i,∵i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,+2+3+…+2 023=i+i2+i3+…+i2 023=505×0+i+i2+i3=-1.
6.C　设z=a+bi(a,b∈R),∵|z-i|=1,∴|z-3-5i|的最大值即为圆a2+(b-1)2=1的圆心(0,1)与点(3,5)的距离加半径1,即为+1=5+1=6,故|z-3-5i|的最大值是6.故选C.
7.C　由|z-5|=|z-1|得复数z对应的点到点(5,0)和(1,0)距离相等,所以复数z对应的点在直线x=3上;由|z-1|=|z-i|得复数z对应的点到点(1,0)和(0,1)距离相等,所以复数z对应的点在直线y=x上;因为直线x=3和直线y=x的交点为(3,3),所以z=3+3i,所以|z|==3.故选C.
8.A　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
因为|z1|=1,所以=1,即a2+b2=1,①
又|z1-z2|=1,所以=1,即(a-c)2+(b-d)2=1,②
又|z1+z2|=,所以,即(a+c)2+(b+d)2=3,③
②+③可得2(a2+b2+c2+d2)=4,④
把①代入④可得c2+d2=1,所以|z2|==1,故A正确.故选A.
9.BCD　对于A项,因为z1+z2=3-2i,所以z1+z2的虚部为-2,所以A错误;对于B项,因为z2-z3=-3i,所以z2-z3为纯虚数,所以B正确;对于C项,因为=(1,-1),=(2,2),所以=0,所以OA⊥OC,所以C正确;对于D项,由已知可得|OA|=|z1|=,|OB|=|z2|=,|OC|=|z3|=2,且|OA|2+|OB|2=7<8=|OC|2,所以,|OA|2+|OB|2-|OC|2<0,所以D正确.
10.CD　对于A,设z1=2-i,z2=2+i,则=3-4i,=3+4i,满足>0,但不能比较大小,故A错误;对于B,设z1=2-i,z2=2+i,则|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B错误;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),则=a2-b2+2abi,||==a2+b2,=a-bi,||=,则||2=a2+b2,故C正确;对于D,因为z1z3=z2z3,且z3是非零复数,所以两边同时除以z3得z1=z2,故D正确.故选CD.
11.BCD　设z=a+bi(a,b∈R),w=c+di(c,d∈R).
对于A,因为z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi,|z|2=()2=a2+b2,故A错误;
对于B,,又·z=|z|2,即有,故B正确;
对于C,z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d)i,则=a-c-(b-d)i,=a-bi,=c-di,则=a-bi-c+di=a-c-(b-d)i,即有,故C正确;
对于D,====
=
=,
=,
故,故D正确.故选BCD.
12.2-i　∵复数6-5i,-2+3i在复平面内对应的点分别为A,B,∴A(6,-5),B(-2,3).∵C为线段AB的中点,∴C(2,-1),∴点C对应的复数是2-i.
13.{-2+i,-2-i}　由x2+4x+6=0,得(x+2)2=-2,所以x+2=i,即x=-2i,则解集为{-2+i,-2-i}.
14.①②④　对于①,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,①正确;
对于②,由|z|=1,设z=cos θ+isin θ,θ∈R,则=cos θ-isin θ=,②正确;
对于③,当z=0时,z+=0,而z是实数,③错误;
对于④,当a>0时,a+-1≥2-1=1,当且仅当a=1时取等号,因此2 022+a+-1i是虚数,④正确.
所以是真命题的是①②④.
15.解(1)复数z是纯虚数,则=0且m2-2m-15≠0,解得m=3.
(2)z在复平面上对应的点位于第四象限,则>0且m2-2m-15<0,解得316.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2.
因为i为实数,
所以=0,解得a=4.所以z=4-2i,|z|=2.
(2)z1=4++2-i对应的点在第四象限,
则解得-217.解 (1)由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1+z2=4-(4+a)i,而由已知z1+z2是实数,于是4+a=0,解得a=-4,所以z1z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.
(2)依题意,是纯虚数,因此解得a=-,所以z1=1+i,|z1|=.
18.解 (1)∵z1-z2=a-1+(1+a)i,则z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(a-1,1+a),∵z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,解得a>1.
(2)∵z1=a+i是方程x2-2x+2=0的根,则(a+i)2-2(a+i)+2=0,即(a2-2a+1)+(2a-2)i=0,
所以解得a=1.
(3)∵z1=,则a=1.
于是z1=1+i,代入+mz1+n,得(1+i)2+m(1+i)+n,即(m+n)+(2+m)i是实数,
∴2+m=0,解得m=-2.
19.解(1)因为|z|==1,所以a=0.
(2)因为i为实数,
所以=0,解得a=1.
(3)因为z是关于x的实系数方程x2+bx+2=0的一个复数根,所以(a+i)2+b(a+i)+2=0,整理得a2+ab+1+(2a+b)i=0,所以解得
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