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2025人教A版数学必修第二册
第七章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,复数zi-3=-2i对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知复数z=,则的虚部为(　　)
A. B.i C. D.i
3.[2024广东深圳高一期末]设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,且z1=1-i,则z1z2= (　　)
A.2 B.0 C.-2i D.-2
4.复数i+i2+i3+…+i2 021=(　　)
A.i-1 B.i C.-1 D.0
5.已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i
C.-+i D.--i
6.对于任意的两个数对(a,b)和(c,d),定义运算(a,b)*(c,d)=ad-bc,若(1,-1)*(z,zi)=1-i,则复数z为(　　)
A.2+i B.2-i C.i D.-i
7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)
A.3+4i B.4+3i C.+3i D.3+i
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.下列表示复数1+i的三角形式中,正确的是(　　)
A.cos--isin-
B.cos+isin
C.sin+icos
D.cos+isin
10.已知复数z满足z(+i)=-2i,则(　　)
A.|z|=1 B.z的虚部为
C.z3+1=0 D.z2=
11.已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　)
A.z1在复平面上对应的点在第三象限
B.z1的虚部为-1
C.=4
D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上
三、填空题
12.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-2,1),则i·z=　　　　　.
13.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　.
14.[2024上海虹口高一检测]z1,z2∈C,若|z2|=4,则=　　　　　　.
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数
16.设复数z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,i为虚数单位.
(1)若z1+z2是实数,求a的值,并计算z1·z2的值;
(2)若是纯虚数,求a的值.
17.已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R.
(1)求z1的共轭复数;
(2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围.
18.[2024江苏连云港高一检测]已知复数z=1+mi,是实数,其中i是虚数单位,m∈R.
(1)求m的值;
(2)若复数z0=-3-i+z是关于x的方程x2+bx+c=0的根,求实数b和c的值.
19.[2024福建福州高一检测]已知z为虚数,若ω=z+∈R,且-1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求ω-μ2的最小值.
第七章综合训练
1.C　由题意,z==-2-3i,根据复数的几何意义,故复数对应的点(-2,-3)在第三象限.
2.C　z=i,故i,故的虚部为.
3.A　因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,且z1=1-i,所以z2=1+i,所以z1z2=(1-i)(1+i)=2.故选A.
4.B　∵i4=1,i2 021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…+i2 021==i.故选B.
5.B　由题意得z==-1+i.
6.D　因为(a,b)*(c,d)=ad-bc,(1,-1)*(z,zi)=1-i,所以zi+z=1-i.所以z==-i.
7.A　显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.
8.B　设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是解得因为13-2x≥0,故x≤,所以x=不符合要求,故z=4+3i.
9.BD　对于A,cos--isin-=1+i,但是不满足复数的三角形式,故A不正确;对于B,cos+isin=1+i,故B正确;对于C,sin+icos=1+i,不满足复数的三角形式,故C不正确;对于D,cos+isin=1+i,故D正确.
10.AD　由z(+i)=-2i,得z=-i,|z|==1,A正确;
z的虚部为-,B错误;
z3+1=-i3=1+1=2,C错误;
z2=-i2=-i=,D正确.故选AD.
11.AB　复数z1==-=-=-1-i.z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=,满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上,故D不正确.故选AB.
12.-1-2i　因为复数z对应的点的坐标是(-2,1),
所以z=-2+i,所以i·z=(-2+i)·i=-1-2i.
13.[3,7]　设z=(x,y)(x,y∈R),
∵复数z满足|z+2-4i|=2,
=2,即(x+2)2+(y-4)2=4.
∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.
|z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.
圆心与点(1,0)之间的距离d==5,
则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7].
14.　因为|z2|=4,所以z2·=16,则16-z2=z2-z2=z2(),故z1≠z2,所以==.
15.解(1)若z为实数,可得解得m=2.
∴当m=2时,z为实数.
(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.
(3)z为纯虚数,则解得m=-3.
∴当m=-3时,z为纯虚数.
16.解(1)∵z1=2+ai(其中a∈R),z2=4-3i,
∴z1+z2=6+(a-3)i.
由z1+z2是实数,所以a-3=0,解得a=3.
∴z1=2+3i,z2=4-3i,
则z1·z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.
(2)因为i是纯虚数,所以解得a=,故a=.
17.解(1)∵(1+i)z1=-1+5i,∴(1-i)(1+i)z1=(1-i)(-1+5i),∴2z1=-1+5+6i,∴z1=2+3i,∴z1的共轭复数=2-3i.
(2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=5-a+2i,a∈R.
若|z1-z2|<|z1|,则,
化为(a-2)(a-8)<0,解得2∴a的取值范围为(2,8).
18.解(1)因为z=1+mi,所以i.因为是实数,所以=0,解得m=-3,故m的值为-3.
(2)由(1)可知z=1-3i,所以z0=-3-i+z=-2-4i.
因为z0是关于x的方程x2+bx+c=0的根,
所以(-2-4i)2+b(-2-4i)+c=0,即(-2b+c-12)+(-4b+16)i=0,由解得b=4,c=20.
19.解(1)设z=a+bi,b≠0,则ω=z+=a+bi+=a+bi+i,
又ω∈R,则=0,所以a2+b2=1,
所以ω=2a,即-1<2a<2,解得-(2)μ=,
由(1)得a2+b2=1,ω=2a,所以μ==-i,
所以ω-μ2=2a+=2a+=2a+=2a-1+=2a+2+-3,又-0,所以2a+2+≥2=4,当且仅当2a+2=,即a=0时等号成立,所以ω-μ2=2a+2+-3≥4-3=1,即ω-μ2的最小值为1.
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