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2025人教A版数学必修第二册
第八章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024陕西咸阳高一段考]下列说法正确的是(　　)
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面
2.水平放置的△AOB的直观图△A'O'B'如图所示,则△AOB的面积是(　　)
A. B.2 C.2 D.4
(第2题图)
3.如图所示的几何体是由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6 cm)的圆台组合而成,已知圆柱的高为20 cm,底面直径AB=10 cm,圆台的底面直径CD=20 cm,EF=16 cm,则该几何体的体积为(　　)
(第3题图)
A.669π cm3 B.1 338π cm3 C.650π cm3 D.1 300π cm3
4.[2024山西大同高一质检]已知三棱锥P-ABC中,PC⊥AB,PC=4,AB=4,E,F分别是PA,BC的中点,则EF与AB所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
5.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P在直线AD1上,Q为线段BD的中点,则下列命题中假命题为(　　)
A.存在点P,使得PQ⊥A1C1
B.存在点P,使得PQ∥A1B
C.直线PQ始终与直线CC1异面
D.直线PQ始终与直线BC1异面
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B. C. D.
7.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(　　)
A.4π B. C.6π D.
8.在如图所示的三棱锥容器S-ABC中,D,E,F分别为三条侧棱上的小洞,SD∶DA=CF∶FS=2∶1,BE=SE,若用该容器盛水,则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列结论正确的是(　　)
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,m β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β
10.已知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为2,则下列说法正确的是(　　)
A.棱台的侧面积为9
B.棱台的高为
C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D.棱台的侧面与底面所成二面角的余弦值为
11.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水(未满),现将容器底面一边BC固定在底面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四种说法,其中正确的是(　　)
A.水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形EFGH的面积为定值
C.棱A1D1始终与水面EFGH平行
D.若E∈AA1,F∈BB1,则AE+BF是定值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024河南鹤壁高一月考]已知一个正四棱锥的底面边长为1,高为,则该正四棱锥的表面积为　　　　　.
13.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　.
14.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有　　　　　个面,其棱长为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC为等边三角形.
(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;
(2)若△PBC的面积为1,求点B到平面PCD的距离d.
16.(15分)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC于直线l.
(1)判断MN与平面PAD的位置关系,并证明你的结论;
(2)判断BC与l的位置关系,并证明你的结论.
17.(15分)[2024湖北武汉高一月考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=∠BCA,A1C1=CC1,D是AC的中点.
求证:(1)B1C∥平面A1BD;
(2)AC1⊥A1B.
18.(17分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F-EBC的体积;
(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
19.(17分)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD;
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
第八章测评
1.D　对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A,B错误;对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确.故选D.
2.D　由直观图和原图形的关系易知,△AOB中底边OB=2,底边OB上的高线长为4,∴△AOB的面积为S=4×2=4.故选D.
3.B　因为圆柱的高为20 cm,底面直径AB=10 cm,圆台的底面直径CD=20 cm,EF=16 cm,且两圆台的高都为6 cm,所以该几何体的体积为V=π×25×20+(25π+100π+)×6+(64π+100π+)×6=500π+175π×6+244π×6=1 338π(cm3).
4.A　取PB的中点G,连接GF,GE,如图,又E为PA的中点,所以EG∥AB,EG=AB=2,
同理可得GF∥PC,GF=PC=2,
又PC⊥AB,所以EG⊥FG,
则∠GEF为EF与AB所成的角,在Rt△GEF中,tan∠GEF=,所以EF与AB所成的角为.故选A.
5.C　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得A1C1⊥平面BDD1B1.∵点P在直线AD1上,Q为线段BD的中点,当点P和D1重合时,PQ 平面BDD1B1,∴PQ⊥A1C1,故A正确;
连接A1D,如图所示.
当点P为线段A1D的中点时,PQ为三角形A1BD的中位线,即PQ∥A1B,故B正确;
CC1 平面AA1C1C,当点P和点A重合时,PQ 平面AA1C1C,则直线PQ和CC1在同一平面内,故C错误;
BC1 平面ABC1D1,PQ∩平面ABC1D1=P,P BC1,故直线PQ始终与直线BC1不相交,且不平行,是异面直线,故D正确.
6.D　如图,连接BC1,PC1.
由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.
设正方体的棱长为1,则BC1=,C1P=A1C1=.
而BP=,可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB.则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=,于是∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角等于.
7.B　要使球的体积V最大,必须球的半径R最大.
由题意知球与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值,此时球的体积为R3=3=,故选B.
8.A　因为SD∶DA=2∶1,所以SD=SA.
又因为BE=SE,所以SE=SB.所以△SDE的面积为S△SDE=SD·SE·sin∠ASB=SASB×sin∠ASB=S△SAB.又CF∶FS=2∶1,所以SF∶SC=1∶3,设点F,C到平面SAB的距离分别为h1,h2,所以h1∶h2=1∶3,所以.所以这个容器最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的1-.
故选A.
9.BD　若m∥α,n∥α,则m∥n或m与n相交或m与n异面,选项A错误;若m⊥α,n⊥α,则m∥n,选项B正确;若m∥α,m β,则α∥β或α与β相交,选项C错误;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n α,又n⊥β,则α⊥β,选项D正确.
10.
AC　由题意作图如右,在平面ABB1A1中由点A1向AB作垂线,垂足为D,取线段BC的中点E,连接AE,在平面AEA1中由点A1向AE作垂线,垂足为F,连接DF,在等腰梯形ABB1A1中,AB=4,B1A1=2,AA1=2,则AD=(4-2)÷2=1,A1D=,故棱台的侧面积为3(2+4)=9,故A正确;
易知A1F为棱台的高,则AD⊥平面A1DF,则AD⊥DF,在Rt△ADF中,DF=AD·tan,AF=,在Rt△A1DF中,A1F=,故B错误;
棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE,cos∠A1AE=,故C正确;
棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF,
cos∠A1DF=,故D错误.
故选AC.
11.ACD　由于四边形ABFE与四边形DCGH全等,且平面ABFE∥平面DCGH,则由棱柱的定义可知,水的部分始终呈棱柱状,所以A正确;因为BC∥FG,BC⊥平面ABB1A1,所以FG⊥平面ABB1A1,因为EF 平面ABB1A1,所以FG⊥EF,因为FG∥EH,FG=EH,所以四边形EFGH为矩形,所以水面四边形EFGH的面积等于EF·FG,因为水面四边形EFGH的边长FG不变,EF在变化,所以水面四边形EFGH的面积在变化,所以B错误;容器底面一边BC固定在底面上时,BC∥FG∥A1D1,A1D1 平面EFGH,所以由线面平行的判定定理可知,棱A1D1始终与水面四边形EFGH平行,所以C正确;由于水平放置时,水的体积是定值,水的高度是定值h,底面面积不变,所以当一部分上升a的同时,另一部分下降相同的高度a,设AE=h-a,则BF=h+a,所以AE+BF=h-a+h+a=2h为定值,所以当E∈AA1,F∈BB1时,AE+BF是定值,所以D正确.故选ACD.
12.4　
如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥,高OP=,底面边长AB=1,
过点O作OG⊥BC于点G,则G是BC的中点,连接PG,于是斜高PG=,
所以正四棱锥的表面积S=1×1+41=4.
13.　易
知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切球的球心为O,由于AM==2,故S△ABC=2×2=2,
设内切球半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB×r+BC×r+AC×r=(3+3+2)×r=2,解得r=,其体积V=r3=.
14.26　-1　由
图可知第一层与第三层各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.将该半正多面体放入正方体部分图示如右,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长BC与FE交于点G,延长BC交正方体棱于H,由半正多面体对称性可知,△BGE为等腰直角三角形.
∵BG=GE=CH=x,
∴GH=2x+x=(+1)x=1,
∴x=-1,即该半正多面体棱长为-1.
15.(1)证明∵在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC为等边三角形,设AB=x,则BC=BD=x,∴BD2+BC2=4x2=CD2,PB2+BC2=4x2=PC2,
∴BD⊥BC,PB⊥BC.
∵BD∩PB=B,∴BC⊥平面PBD.
∵BC 平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD.
(2)解∵SRt△PBC=1,PB·PC=x2=1,即x=1,
由(1)知,S△PCD=4=,
∵BD2+BP2=DP2,BD=,PB=,
∴S△PBD==1,∴V三棱锥B-PCD=V三棱锥C-PBD,即·d=1,解得d=,
∴点B到平面PCD的距离为.
16.解(1)MN∥平面PAD,证明如下:
取PD中点E,连接AE,NE,因为N,E分别为PC,PD中点,所以NE∥DC,且NE=DC.
又M为AB中点,AB∥DC,AB=DC,
所以AM∥NE,且AM=NE,
所以四边形AMNE为平行四边形,
所以AE∥MN.
又AE 平面PAD,MN 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)BC∥l,证明如下:
因为AD∥BC,AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又BC 平面PBC,且平面PAD∩平面PBC=l,
根据线面平行的性质定理可得BC∥l.
17.证明(1)连接AB1,交A1B于点O,连接OD.
∵O为平行四边形ABB1A1对角线的交点,∴O为AB1的中点.
在△AB1C中,O,D分别为AB1,AC的中点,∴OD∥B1C.
∵OD 平面A1BD,B1C 平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.
(2)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,
∵BD 平面ABC,∴AA1⊥BD.
∵D是AC的中点,∠BAC=∠BCA,∴AC⊥BD.
∵AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
∵AC1 平面ACC1A1,∴BD⊥AC1.
在Rt△ACC1中,AC=A1C1=CC1,∴tan∠AC1C=,在Rt△A1AD中,AD=AC,∴tan∠A1DA=,
∴tan∠AC1C=tan∠A1DA,∴∠AC1C=∠A1DA,
∴∠AC1C+∠C1AC=∠A1DA+∠C1AC=90°,
∴A1D⊥AC1.
∵A1D∩BD=D,A1D,BD 平面A1BD,∴AC1⊥平面A1BD.
∵A1B 平面A1BD,∴AC1⊥A1B.
18.(1)解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,
∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BCC1B1,
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.
∵AB=AC,∴AC==2,
∴CE==BE.∴CF=CC1=AB=1,
∴V三棱锥F-EBC=S△EBC·CF=1=.
(2)证明如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.
∵E,M分别为AC,BC中点,
∴EM∥AB.
又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,
则点A1,B1,M,E四点共面,
故DE 平面A1B1ME.
又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,
∴∠FBM=∠MB1B.
又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,
∴BF⊥MB1.
又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1 平面A1B1ME,
∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.
19.(1)证明在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,
∴AO⊥BD.
∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO 平面ABD,∴AO⊥平面BCD.
∵CD 平面BCD,∴AO⊥CD.
(2)解如图,过点E作EN∥AO交BD于N,过点N作NM∥CD交BC于M.
∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,
∴EN⊥平面BCD.
∴EN⊥BC.
在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,
∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.
∵NM∥CD,∴NM⊥BC.
又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,
∴BC⊥ME.
∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN=45°,即△EMN是等腰直角三角形.
∵DE=2AE,∴ND=2ON,
∴MN=CD==EN.
∴EN=ND=,∴AO=OD=1.
∵BC=,
∴VA-BCD=S△BCD·AO=11=.
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