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2025人教A版数学必修第一册
第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024湖北高一期末]下列函数是幂函数的是(　　)
A.y= B.y=2x
C.y=2x2 D.y=-x-1
2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是(　　)
A.y=x B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=-
3.[2024江苏南通高一期中]已知函数f(x)=则f(3)=(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
4.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.[-,-2)∪(-2,0] B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.(-∞,-2)∪(-2,3] D.[-,-2]
5.[2024甘肃临夏高一期末]函数f(x)=x2-4x+3在区间[a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
6.已知f(x)=ax3++3,f(4)=5,则f(-4)=(　　)
A.3 B.1
C.-1 D.-5
7.[2024山东德州高一月考]若函数f(x)=满足对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0成立,则实数m的取值范围为(　　)
A.(,2) B.(,1)
C.(,2] D.(,1]
8.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-2,-1)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(1,2)
D.(-2,-1)∪(1,2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有(　　)
A.f(x)=x与g(x)= B.f(x)=x+1与g(x)=
C.f(x)=与g(x)= D.f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|
10.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,a),值域为[-8,-4],则正整数a的值可能是(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
11.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负值,则下列结论可能成立的有(　　)
A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0
C.a+b<0,ab<0 D.以上都有可能
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,则m+n=　　　　.
13.已知函数f(x)=kx2-2x+4k在区间[2,4]上单调递减,则实数k的取值范围是　　　　　.
14.若函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,则称函数f(x)为“理想函数”.
给出下列四个函数:①f(x)=;②f(x)=x2;③f(x)=|x|;④f(x)=其中能被称为“理想函数”的有　　　　　(填相应的序号).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=
(1)求f(-),f(),f(f());
(2)若f(a)=6,求a的值.
16.(15分)(1)已知f(+2)=x+4,求函数f(x)的解析式.
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+2)-f(x)=3x,求函数f(x)的解析式.
17.(15分)已知函数f(x)=2|x-2|+|x+1|.
(1)画出f(x)的图象;
(2)求f(x)>4的解集.
18.(17分)[2024河北石家庄]已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0(1)求当-3≤x<0时,函数f(x)的解析式;
(2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=x+,且f(2)=4.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论;
(3)求函数f(x)在区间[3,4]上的最值.
答案：
1.A　由幂函数的定义,可知A正确;B,C,D均不符合.故选A.
2.B　y=x是奇函数,故A不符合题意;y=|x|+1是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故B正确;y=-x2+1是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,C不符合题意;y=-是奇函数,D不符合题意.故选B.
3.B　由题意得f(3)=f(3-2)=f(1)=f(1-2)=f(-1)=(-1)2+1=2.故选B.
4.A　因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=,
则有解得-≤x<-2或-2因此,函数g(x)的定义域为[-,-2)∪(-2,0].故选A.
5.B　函数f(x)=x2-4x+3图象的对称轴方程为x=-=2,
要使函数在区间[a,+∞)上单调递增,则a≥2,解得a∈[2,+∞).故选B.
6.B　由f(4)=5,得43a+=2,f(-4)=-(43a+)+3=-2+3=1,故选B.
7.D　根据题意可知,函数f(x)在R上单调递减,
所以需满足
解得即实数m的取值范围为(,1].故选D.
8.C　因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,
所以当0≤x<2时,f(x)>0;当x>2时,f(x)<0.
又因为f(x)为定义在R上的偶函数,
所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,
所以当-20;当x<-2时,f(x)<0.
综上,当-20;当x<-2或x>2时,f(x)<0.
由(x-1)f(x)>0可得
由可得解得1由可得解得x<-2.
所以满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(1,2).故选C.
9.ACD　对于A,函数f(x)=x(x∈R),函数g(x)=(x∈R),两函数的定义域与对应关系都一致,所以是同一函数,故正确;
对于B,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠1},它们的定义域不同,所以不是同一函数,故错误;
对于C,函数f(x)=与函数g(x)=两函数的定义域与对应关系都一致,所以是同一函数,故正确;
对于D,函数f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数,故正确.故选ACD.
10.BC　函数y=x2-4x-4的图象如图所示.
因为函数在[0,a)上的值域为[-8,-4],结合图象可得2又a是正整数,所以BC正确.故选BC.
11.BC　由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=;
当m=2时,f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)=x3符合条件,且满足f(-x)=-f(x).
结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0可知f(a)<-f(b)=f(-b),所以a<-b,即b<-a,所以a+b<0.当a=0时,b<0,ab=0;当a>0时,b<0,ab<0;当a<0,b<0时,ab>0;当a<0,012.2　因为函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x),即(-x)2-m(-x)+4=x2-mx+4,解得m=0,
且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2n=0,解得n=2,所以m+n=2.
13.(-∞,]　当k=0时,f(x)=-2x在区间[2,4]上单调递减,符合题意;
当k>0时,函数图象的对称轴为直线x=,
因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,所以≥4,得k≤,所以0当k<0时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,符合题意.
综上,实数k的取值范围为(-∞,].
14.④　由题知,“理想函数”应是奇函数,且在定义域上为减函数.
对于①,函数f(x)=为奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不正确;
对于②,函数f(x)=x2为偶函数,所以不正确;对于③,函数f(x)=|x|的定义域为R,在定义域内不单调,所以不正确;对于④,函数f(x)=的大致图象如图所示,显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,所以是“理想函数”.
综上,能被称为“理想函数”的为④.
15.解 (1)f(-)=-2×(-)=3,
f()=2,f(f())=f(2)=2×2=4.
(2)由对应关系可知a [-1,1],否则f(a)=2.若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;
若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a的值为-3或3.
16.解 (1)(方法1　换元法)令t=+2,则x=(t-2)2,t≥2,
则有f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).
(方法2　配凑法)f(+2)=x+4=x+4+4-4=-4.
因为+2≥2,所以函数的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).
(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+2)-f(x)=3x,
所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=3x,
所以4ax+4a+2b=3x,所以得a=,b=-,所以f(x)=x2-x+1.
17.解 (1)当x<-1时,f(x)=2(2-x)+(-x-1)=-3x+3;
当-1≤x≤2时,f(x)=2(2-x)+x+1=-x+5;
当x>2时,f(x)=2(x-2)+x+1=3x-3.
故f(x)=函数图象如图所示.
(2)由图象得,当x<-1时,-3x+3>4,解得x<-,则x<-1;
当-1≤x≤2时,-x+5>4,
解得x<1,则-1≤x<1;
当x>2时,3x-3>4,解得x>,则x>.
综上,f(x)>4的解集为.
18.解 (1)设-3≤x<0,则0<-x≤3,
所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x.
因为f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=x2-x,
所以f(x)=-x2+x,
即当-3≤x<0时,函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+x.
(2)由f(a+1)+f(2a-1)>0,
得f(a+1)>-f(2a-1),
因为f(x)为奇函数,所以f(a+1)>f(1-2a),
当0所以f(x)在区间(0,3]上单调递增,
因为函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,
所以f(x)在区间[-3,3]上单调递增,
所以解得0即实数a的取值范围为(0,2].
19.解 (1)根据题意得f(2)=2+=4,解得m=4.
(2)f(x)=x+在区间[2,+∞)上单调递增.理由如下:
设2∵20,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.
(3)根据题意,由(2)可知,f(x)=x+在区间[3,4]上单调递增,故f(x)min=f(3)=,f(x)max=f(4)=5,
∴函数f(x)=x+在区间[3,4]上的值域为[,5].
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