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2025人教A版数学必修第一册
模块综合测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合A={0,1,2,4,8},B={0,1,2,3},将集合A,B分别用如下图中的两个圆表示,则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是(　　)
2.设a>0,则“b>a”是“b2>a2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2024北京丰台高一期末]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,终边关于原点O对称.若角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-),则cos β=(　　)
A. B.- C. D.-
4.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)
A.(-,0) B.(0,) C.() D.()
5.函数y=的图象大致为(　　)
6.设函数f(x)=则f(log2)+f(3)=(　　)
A.-1 B.5 C.6 D.11
7.定义在R上的奇函数f(x)满足:任意x1≠x2,都有>0,设a=-f(log2),b=f(log24.1), c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a8.[2023全国新高考Ⅰ]已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A. B. C.- D.-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知a,b,c,d均为实数,下列不等关系推导不成立的是(　　)
A.若a>b,cb+d B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若a>b>0,c>d>0,则 D.若bc-ad>0,>0,则ab<0
10.设函数f(x)=4sin(2x+)+1的图象为C,则下列结论中正确的是(　　)
A.图象C关于直线x=-对称
B.图象C关于点(-,0)对称
C.函数f(x)在[-]上单调递增
D.把函数f(x)=4sin(x+)+1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C
11.已知函数f(x)=若x1A.x1+x2=-1 B.x3x4=1
C.1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2x(x+4),则函数f(x)在R上的表达式为　　　　　.
13.已知正数m,n满足2m+3n-mn=0,则2m+3n的最小值为　　　　　.
14.[2023全国新高考Ⅰ]已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024河南高一期末]已知tan α=-.求:
(1);
(2)sin2α-3sin αcos α+1的值.
16.(15分)[2024江苏镇江高三期中]已知集合A=,集合B={x|x2-2x-m2+1<0}.
(1)若m=2,求( RA)∩B;
(2)若　　　　　,求实数m的取值范围.
在以下两个条件中任选一个补充在第(2)问中,并给出解答.
①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②A∩B=B.
17.(15分)[2024广东惠州]疫情过后,惠州市某企业为了激励销售人员的积极性,实现企业高质量发展,其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元),奖金发放方案同时具备两个条件:①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加;②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)大于等于x·5%).经测算,该企业决定采用函数模型f(x)=+b (a>0,b>0)作为奖金发放方案.
(1)若a=b=,此奖金发放方案是否满足条件 并说明理由.
(2)若b=,要使奖金发放方案满足条件,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断当x∈(-1,1)时,函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若f(t2-1)<-f(t)恒成立,求t的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=2sin(x+)sin(-x)+2cos2(x-)-1,x∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a(a>0)对称,求a的最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-log2m在[0,]上有零点,求实数m的取值范围.
答案：
1.B　对于A,阴影部分表示的集合为A∩B={0,1,2},元素个数为3,故A错误;对于B,阴影部分表示的集合为{4,8},元素个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{3},元素个数为1,故C错误;对于D,阴影部分表示的集合为{4,8,3},元素个数为3,故D错误.故选B.
2.A　由于a>0,当b>a时,b2>a2.当b2>a2时,b可能是负数,因此不能得出b>a.故“b>a”是“b2>a2”的充分不必要条件.故选A.
3.B　角α与角β终边关于原点O对称,且若角α的终边与单位圆☉O交于点P(,-),
所以角β的终边与单位圆☉O交于点(-),故cos β=-.故选B.
4.C　因为函数f(x)=ex+4x-3在R上连续单调递增,
且
所以函数的零点在区间()内.故选C.
5.A　函数的定义域为{x|x≠0},易得该函数为奇函数,可排除C,D,
又y==1+,其在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,故选A.
6.B　∵log2<0,∴f(log2)+f(3)=+f(2-3)=+f(-1)=3+21=5.故选B.
7.C　因为任意x1≠x2,都有>0,
所以f(x)在R上单调递增,
a=f(-log2)=f(log25).
因为log25>log24.1>log24=2>20.8,
所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),
即c8.B　由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=,
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-,解得sin αcos β=.
∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.故选B.
9.ABD
10.AC　对于A,函数f(x)=4sin(2x+)+1的对称轴方程为2x++kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=-1时可得x=-,所以图象C关于直线x=-对称,故正确.
对于B,函数f(x)=4sin(2x+)+1的对称中心为2x+=kπ(k∈Z),解得x=-(k∈Z),
当k=0时可得x=-,所以图象C关于点(-,1)对称,而不是关于点(-,0)对称,故错误.
对于C,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
当k=0时,-≤x≤,所以函数f(x)在[-]上单调递增,故正确.
对于D,把函数f(x)=4sin(x+)+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到函数4sin(2x+)+1的图象,不是图象C,故错误.
综上,AC正确.
11.BCD　画出函数f(x)的大致图象如图,得出x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A错误,B正确;由图可知112.f(x)=　当x<0时,-x>0,故f(-x)=-2x(-x+4)=2x(x-4),所以f(x)=f(-x)=2x(x-4),所以f(x)=
13.24　由正数m,n满足2m+3n-mn=0,可得=1,
所以2m+3n=(2m+3n)()=+12≥2+12=24,
当且仅当=1,即m=6,n=4时取等号,所以2m+3n的最小值为24.
14.[2,3)　由题意可知,要使函数f(x)=cos ωx-1在[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cos ωx的图象在[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cos ωx的最小正周期为T,如图(草图),
要满足题意,需要2T≤2π<3T,即15.解 (1)=-.
(2)sin2α-3sin αcos α+1=sin2α-3sin αcos α+(sin2α+cos2α)
==2.
16.解 (1)≥1,-1=≥0,则解得0≤x<2,故A={x|0≤x<2}.
因为m=2,所以集合B={x|x2-2x-3<0},x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,解得-1所以B={x|-1(2)若选①,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A是B的真子集.
而x2-2x-(m-1)(m+1)<0 (x+m-1)(x-m-1)<0,显然m≠0,否则B= .
当m>0时,B={x|1-m1.
当m<0时,B={x|m+1综上,m的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
若选②,因为A∩B=B,所以B A.
①若m=0,则B= ,符合.
②若m>0,则B={x|1-m③若m<0,则B={x|m+1综上,实数m的取值范围为[-1,1].
17.解 (1)f(x)=,因为y=在[2,8]上单调递增,y=-在[2,8]上单调递增,
所以f(x)=在[2,8]上单调递增,所以①满足.
对于②,f(x)=≥5%·x,即,
整理可得x2-2x+2≤0,
又x2-2x+2=(x-1)2+1>0,则不满足②的条件.
故a=b=不满足条件.
(2)当b=时,函数f(x)=,因为a>0,
由(1)知f(x)在[2,8]上单调递增,奖金发放方案满足条件①.
由条件②可知f(x)≥,即在[2,8]上时恒成立,
所以a≤-x2+x=在x∈[2,8]时恒成立.
y=在x∈[2,8]上单调递增,
当x=2时,取得最小值,∴a≤,
∴要使奖金发放方案满足条件,a的取值范围为(0,].
18.解 (1)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,则f(0)=b=0,f()=,解得a=2,
故f(x)=.x∈(-1,1)时,f(-x)==-f(x),函数为奇函数,综上所述,f(x)=.
(2)当x∈(-1,1)时,函数f(x)单调递增,
设-1因为-10,x2-x1>0,1-x1x2>0,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)f(t2-1)<-f(t),即f(t2-1)f(x)在(-1,1)上单调递增,故解得t∈(-1,0)∪(0,).
19.解 (1)f(x)=2sin(x+)sin(-x)+2cos2(x-)-1
=2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x-)-1
=sin(2x+)+cos(2x-)=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),
由2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,
即函数的对称轴为x=,k∈Z.
∵y=f(x)的图象关于直线x=a(a>0)对称,
∴当k=0时,a有最小值.
(2)若函数g(x)=f(x)-log2m在[0,]上有零点,即g(x)=f(x)-log2m=0在[0,]上有解,
即f(x)=log2m在[0,]上有解,
当0≤x≤≤2x+,即-≤sin(2x+)≤1,-1≤2sin(2x+)≤2,
由-1≤log2m≤2,解得≤m≤4,故实数m的取值范围是[,4].
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