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2025人教A版数学必修第一册
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念　
4.4.2　对数函数的图象和性质
A级　必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列函数表达式中,是对数函数的有(　　)
A.y=logπx B.y=logx
C.y=log4x2 D.y=log2(x+1)
2.[探究点二]函数f(x)=的定义域为(　　)
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(0,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
3.[探究点四]对数函数y=logax与y=logbx的图象如图,则(　　)
A.a<0,b<0
B.a<0,b>0
C.01
D.04.[探究点三]若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=(　　)
A.log2x B.lox
C. D.x2
5.[探究点四]函数y=(1-a)x与y=logax(其中a>1)的图象只可能是(　　)
6.[探究点一]函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,则m的值是　　　　　.
7.[探究点二·2024湖南长沙高一期中]函数f(x)=的定义域为　　　　.
8.[探究点四·2024新疆塔城高一阶段检测]函数y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点　　　　　.
9.[探究点五·2024天津高一期中]比较下列各题中两个值的大小:
(1)lg 0.6,lg 0.8;(2)log0.56,log0.54;(3)logm5,logm7(m>0且m≠1);(4)log35与log64.
B级　关键能力提升练
10.(多选题)已知a>0,且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)
11.将y=2x的图象先　　　　　,再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的图象(　　)
A.向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
12.[2024湖南长沙高一阶段练习]若a=2 0230.2,b=log0.22 023,c=0.22 023,则(　　)
A.a>b>c
B.b>a>c
C.a>c>b
D.c>a>b
13.[2024北京高一期中]已知a=,b=log2,c=lo,则下列关系式中正确的是(　　)
A.c>a>b B.a>c>b
C.a>b>c D.c>b>a
14.若函数f(x)=log2|a+x|的图象不过第四象限,则实数a的取值范围为　　　　.
15.已知函数f(x)=的最小值为-1,则a的取值范围是　　　　　.
16.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　　.
17.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a其中可能正确的关系式是　　　　.
18.设f(x)=ax(a>0,且a≠1),其图象经过点(),g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.
(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;
(2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[a,b],且b-a=,求c的值.
C级　学科素养创新练
19.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1∈M,2 M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
答案：
1.AB　根据对数函数的定义知,y=logπx,y=lox是对数函数.故选AB.
2.D　因为f(x)=,所以解得x>0且x≠1,
所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故选D.
3.C
4.B　因为y=ax的反函数为y=logax,又此函数图象经过点(,a),因此loga=a,解得a=,所以f(x)=lox.
5.B　对于A,B,因为a>1,故y=(1-a)x为R上的减函数,其图象应下降,y=logax为(0,+∞)上的增函数,故A错误,B正确;
对于C,D,当a>1时,y=logax为(0,+∞)上的增函数,故C,D错误.故选B.
6.　由函数f(x)=(m2-1)logmx表示对数函数,可得解得m=.
7.(-∞,3)∪(3,4)　要使函数f(x)=有意义,
只需解得x<4且x≠3,
所以函数的定义域为(-∞,3)∪(3,4).
8.(1,2)　令3x-2=1,即x=1,得y=loga1+2=2,
故y=loga(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,2).
9.解 (1)∵函数y=lg x是(0,+∞)上的增函数,0.6<0.8,∴lg 0.6(2)∵函数y=log0.5x是(0,+∞)上的减函数,6>4,
∴log0.56(3)当m>1时,函数y=logmx是(0,+∞)上的增函数.
∵5<7,∴logm5当0∵5<7,∴logm5>logm7.
(4)∵log35>log33=1,log64log64.
10.ABD
11.D　y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1,所以将y=2x的图象先向下平移1个单位长度,得y=2x-1.
12.C　因为a=2 0230.2>2 0230=1,所以a>1.
因为b=log0.22 023因为c=0.22 023<0.20=1,且c=0.22 023>0,
所以0c>b.故选C.
13.A　因为a=<20=1,所以0因为c=lo>lo=1,所以c>1.
因为b=log2所以b<0,故c>a>b.
故选A.
14.[1,+∞)　函数f(x)=log2|a+x|的图象关于直线x=-a对称,其定义域为{x|x≠-a},
作出函数f(x)=log2|a+x|的大致图象如图所示,由图可得,要使函数f(x)=log2|a+x|的图象不过第四象限,则解得a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞).
15.　∵当x≥时,log2x≥log2=-1,
∴当f(x)的最小值为-1时,-+a≥-1,∴a≥-.
16.(0,1]　函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则017.②④⑤　实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关系式为②④⑤.
18.解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点,所以,所以a=10,
所以f(x)=10x.
因为f(2m)=4,f(n)=25,所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,所以102m+n=102,所以2m+n=2.
(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,所以g(x)=lg x(x>0),且为增函数,
所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lg c]=[a,b].因为b-a=,所以lg c-lg,
所以lg c=2,则c=100.
19.解由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
(1)由1∈M,2 M可得
化简得解得-1所以a的取值范围为.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不符合题意;
当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.
所以a的取值范围为(1,+∞).
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