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2025人教A版数学必修第一册
4.5.2　用二分法求方程的近似解
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024广东高一阶段练习]用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为(　　)
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[1,2] D.[2,3]
2.[探究点三]一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测(　　)
A.4次 B.6次
C.8次 D.30次
3.[探究点一]若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)
A.1.4 B.1.3
C.1.2 D.1.5
4.[探究点一](多选题)已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点,其中a>0,在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间内可能有零点
B.函数f(x)在区间内可能有零点
C.函数f(x)在内无零点
D.函数f(x)的零点可能是
5.[探究点二]的近似值(精确度0.1)为　　　　.
6.[探究点二·北师大版教材习题]已知函数f(x)=x3+x-3在区间[1,2]内有零点,求方程x3+x-3=0在区间[1,2]内的一个近似解.(精确度0.1)
B级　关键能力提升练
7.[2024江苏淮安高一期末]已知函数f(x)=x3+x-1在(0,1)内有一个零点,且求得f(x)的部分函数值数据如下表所示:
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 0.687 5 0.656 25 0.671 875
f(x) -1 1 -0.375 0.171 8 -0.130 8 -0.259 5 0.012 45 -0.061 13 -0.024 83
要使f(x)零点的近似值精确度为0.1,则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为(　　)
A.6次　0.75 B.5次　0.75
C.4次　0.65 D.5次　0.65
8.用二分法求方程ln x-=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为(　　)
A.(1,1.25) B.(1,1.5)
C.(1,2) D.(1.5,2)
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,),()内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f() B.f(2)
C.f(1) D.f()
10.已知f(x)=-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n=　　　　　.若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分　　　　　次.
C级　学科素养创新练
11.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.
答案：
1.C　f(-1)=-<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,
则f(1)·f(2)<0,又f(x)在R上是单调递增的,故初始区间可选[1,2].故选C.
2.B　利用二分法检测,每次取中点,焊接点数减半,
不妨设需要n次检测,则≤1,即2n≥60,因为25<60<26,故n的最小值为6,
即至少需要检测6次.故选B.
3.A
4.ABD　根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在中,或f=0,故选ABD.
5.1.625(答案不唯一)　令f(x)=x2-3.因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以方程x2-3=0在区间[1,2]上有实数解,如此下去,f(1.5)=-0.75<0,f(1.75)=0.062 5>0,f(1.625)=-0.359 375<0,f(1.687 5)=-0.152 343 75<0.
因为1.687 5-1.625=0.062 5<0.1,所以我们可以选取区间[1.625,1.687 5]内的任意一个数作为方程x2-3=0的一个近似解.例如,可以选取1.625作为方程x2-3=0的一个近似解.
即1.625为满足精确度0.1的的近似值.
6.解 f(1)=-1,f(2)=7,用二分法得到方程x3+x-3=0的实数解所在的区间(如下表):
区间 中点 中点近似函数值
[1,2] 1.5 1.875
[1,1.5] 1.25 0.203 1
[1,1.25] 1.125 -0.451 2
[1.125,1.25] 1.187 5 -0.137 9
因为f(1.25)·f(1.187 5)<0,且1.25-1.187 5=0.062 5<0.1,所以区间[1.187 5,1.25]内任何一值都可作为方程的近似解,所以方程的一个近似解为1.2.
7.C　由题意可知,需要求解f(0),f(1),f(0.5),f(0.75),f(0.625),f(0.687 5)的值,
然后达到f(x)零点的近似值精确度为0.1,
所以零点的近似解为0.65,共等分4次.故选C.
8.D　令f(x)=ln x-,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0,
f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=(ln -ln e2)<(ln 4-2)=0,
所以下一个有根区间为(1.5,2).故选D.
9.BD　由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间(1,)内,则有f(1)·f()<0,则f(1)>0,f()<0,取中点;⑤零点在区间()内,则有f()·f()<0,则f()>0,f()<0,
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f().
10.1　7　f(x)=-ln x在(0,+∞)上为减函数,
又f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0,
所以f(x)的零点x0∈(1,2),故n=1.
设至少需等分n次,则()n≤0.01且n∈N,解得n≥7,故至少需等分7次.
11.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f(-)=-+5=-<0,所以x0∈[-,-1].
取区间[-,-1]的中点x2==-,
且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
取区间[-,-]的中点x3==-,
且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
因为--(-)<0.2,所以区间[-,-]的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,
所以至少需进行3次函数值的计算.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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