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2025人教A版数学必修第一册
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]cos 57°cos 3°-sin 57°sin 3°的值为(　　)
A.0 B. C. D.cos 54°
2.[探究点一·2024广东佛山高一期末]cos(+θ)sin(-θ)+cos(-θ)sin(+θ)的值等于(　　)
A. B.1 C.0 D.
3.[探究点一](多选题)cos α-sin α化简的结果可以是(　　)
A.cos(-α) B.2cos(+α)
C.sin(-α) D.2sin(-α)
4.[探究点一]函数f(x)=cos-cos是(　　)
A.周期为π的偶函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为2π的奇函数
5.[探究点二]已知tan(α-)=,则tan α=(　　)
A. B.- C.5 D.-5
6.[探究点一]若α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)的值为(　　)
A. B.1 C. D.2
7.[探究点二]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β=.
8.[探究点二、三]已知tan α=2,tan β=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则=　　　　　,α-β=　　　　　.
9.[探究点一]化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);
(3)cos 21°cos 24°+sin 159°sin 204°.
10.[探究点三·北师大版教材例题]已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<<β<π.求:
(1)tan(α-β);
(2)α+β.
B级　关键能力提升练
11.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=(　　)
A. B.
C. D.
12.若tan 110°=a,则tan 50°的值为(　　)
A. B.
C. D.
13.[2024江西高一期末](tan 65°-1)(tan 70°-1)的值为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
14.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
15.函数y=cos x+cos的最小值是　　　　　,最大值是　　　　　.
16.形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　　.
17.[2024江苏徐州高一期末](1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)…(1+tan 44°)
=　　　　.
C级　学科素养创新练
18.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tantan β=2-同时成立 若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.
答案：
1.B　cos 57°cos 3°-sin 57°sin 3°=cos(57°+3°)=cos 60°=.故选B.
2.B　cos(+θ)sin(-θ)+cos(-θ)sin(+θ)=sin(+θ+-θ)=sin=1.故选B.
3.BD　cos α-sin α=2(cos α-sin α)=2(cos αcos-sin αsin)=2cos(α+)=2sin(-α).
4.D　因为f(x)=cos-cos
=-sin x,所以函数f(x)的最小正周期为=2π.
又f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),x∈R,所以函数f(x)为奇函数.故选D.
5.B　tan(α-)=,解得tan α=-.故选B.
6.D　因为α+β=,所以tan(α+β)=tan,所以=-1,所以tan α+tan β=tan αtan β-1,所以(1-tan α)(1-tan β)=1-(tan α+tan β)+tan αtan β=1-(tan αtan β-1)+tan αtan β=2.故选D.
7.0　由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,
两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.
8.-7　-45°　=-7.
因为tan(α-β)==-1,
0°<α<90°,90°<β<180°,
所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.
9.解 (1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)
=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.
(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)
=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°=cos(21°+24°)=cos 45°=.
10.解 (1)tan(α-β)==7.
(2)tan(α+β)==1.
因为0<α<<β<π,所以<α+β<.
由于在之间,只有的正切值等于1,故α+β=.
11.D　tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.
12.D　因为tan 110°=a,所以tan 50°=tan(110°-60°)=.
故选D.
13.D　(tan 65°-1)(tan 70°-1)=-tan 65°-tan 70°+tan 65°tan 70°+1
=-tan 135°(1-tan 65°tan 70°)+tan 65°tan 70°+1=2.故选D.
14.A　由题意知
①2+②2得9+16+24sin(A+B)=37,
则sin(A+B)=,∴在△ABC中,sin C=,
∴C=或C=.
若C=,则A+B=,∴1-3cos A=4sin B>0,
∴cos A<.又,∴A>.
此时A+C>π,不符合题意,∴C≠,经检验C=满足题意.
15.-　(方法1)y=cos x+cos xcos-sin xsincos x-sin
x=cos.
当cos=-1时,ymin=-;
当cos=1时,ymax=.
(方法2)y=cos+cos=coscos+sinsin+cos
cossincossin]
=coscos,所以-≤y≤.
16.-1　sin 15°-cos 15°
=2(sin 15°-cos 15°)
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
17.222　因为tan 45°=tan[θ+(45°-θ)]==1,
整理得tan θtan(45°-θ)+[tan θ+tan(45°-θ)]=1,
则(1+tan θ)[1+tan(45°-θ)]=tan θtan(45°-θ)+[tan θ+tan(45°-θ)]+1=2,
所以(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)
=[(1+tan 1°)(1+tan 44°)]…[(1+tan 22°)(1+tan 23°)]=2×…×2=222,
即(1+tan 1°)(1+tan 2°)…(1+tan 44°)=222.
18.解假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tantan β=2-同时成立.
由(1)得+β=,
所以tan(+β)=.
又tantan β=2-,所以tan+tan β=3-,
因此tan,tan β可以看成方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,
设方程的两根为x1,x2,解得x1=1,x2=2-.
若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾,
所以tan =2-,tan β=1,所以β=,所以α=,
所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.
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