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2025人教A版数学必修第一册
第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
A级　必备知识基础练
1.[探究点一·2024广东佛山高一期末](多选题)下列各式中,值为的是(　　)
A.cos215°-sin215° B.
C.2sin 15°cos 15° D.
2.[探究点一]若sin(-α)=,则cos 2α=(　　)
A. B.
C.- D.-
3.[探究点二]已知tan α=,tan β=,且α,β均为锐角,则α+2β的值为(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点二]设sin α=,2π<α<3π,则sin+cos=(　　)
A.- B. C. D.-
5.[探究点一]cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于(　　)
A. B. C. D.1+
6.[探究点二]若,则tan 2α=(　　)
A.- B. C.- D.
7.[探究点二·2024江苏南京高一期末]已知cos()=,则cos(-α)的值为(　　)
A. B.- C. D.-
8.[探究点三(角度2)]化简:=　 .
9.[探究点二]已知α∈(0,π),且有1-2sin 2α=cos 2α,则cos α=　　　　.
10.[探究点三(角度2)]化简:.
11.[探究点三(角度1)]求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
B级　关键能力提升练
12.已知tan ,则的值为(　　)
A. B.- C. D.-
13.[2024重庆沙坪坝高三阶段练习]已知sin(α+)=,则sin(2α+)=(　　)
A. B.- C. D.-
14.4sin 80°-=(　　)
A. B.-
C. D.2-3
15.若α∈,且cos2α+cos,则tan α=(　　)
A. B.
C. D.或-7
16.已知tan(θ-φ)和tan(θ+φ)是关于x的方程x2+mx-3=0的两根,且tan θ=,则m的值为(　　)
A.-5 B.-
C.- D.-6
17.(多选题)已知函数f(x)=|sin x||cos x|,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的最小正周期为
C.(π,0)是f(x)的图象的一个对称中心
D.f(x)在区间上单调递增
18.若θ∈,sin 2θ=,则cos 2θ=　　　　　;sin θ=　　　　　.
19.化简:(2π<α<3π)=　　　　　.
20.求证:-tan θtan 2θ=1.
21. [苏教版教材例题]化简sin2(α-)+sin2(α+)-sin2α.
C级　学科素养创新练
22.[2024云南昆明高一期末]已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,
求:(1)sin 2α-cos 2α的值;
(2)tan(α-β)的值.
答案：
1.BC　因为cos215°-sin215°=cos 30°=,所以选项A不符合题意;
因为tan 45°=,所以选项B符合题意;
因为2sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以选项C符合题意;
因为,所以选项D不符合题意.故选BC.
2.C　∵sin(-α)=sin(-α)=-cos α=,
∴cos α=-,∴cos 2α=2cos2α-1=-1=-.
故选C.
3.C　tan 2β=,tan(α+2β)==1.
因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,
所以α,β∈(0,),所以α+2β∈(0,),所以α+2β=.
4.A　∵sin α=,∴=1+sin α=.
又2π<α<3π,∴π<,
∴sin<0,cos<0,∴sin+cos=-.
5.C　原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+.
6.B　等式左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,
解得tan α=-3,
∴tan 2α=.
7.C　由cos()=cos[-()]=sin()=,
所以cos(-α)=1-2sin2()=1-2×.故选C.
8.tan θ　由二倍角公式可得=tan θ.
9.　由1-2sin 2α=cos 2α,得1-cos 2α=2sin 2α,
即2sin2α=4sin αcos α.
又α∈(0,π),所以sin α≠0,所以sin α=2cos α>0.
由sin2α+cos2α=(2cos α)2+cos2α=5cos2α=1,
解得cos α=.
10.解原式=
==-4.
11.证明左边=
(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,
所以等式成立.
12.A　∵tan ,
∴
==tan .故选A.
13.C　sin(2α+)=cos(-2α-)=cos(2α+)=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=.故选C.
14.B　4sin 80°-
=
==-.
15.C　cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.
又α∈,所以tan α=,故选C.
16.B　因为tan(θ-φ)和tan(θ+φ)是关于x的方程x2+mx-3=0的两根,
所以tan(θ-φ)+tan(θ+φ)=-m,tan(θ-φ)tan(θ+φ)=-3,
所以tan 2θ=tan(θ-φ+θ+φ)=.
因为tan θ=,所以tan 2θ=,
所以,m=-.故选B.
17.AB　因为函数f(x)=|sin x||cos x|=|sin xcos x|=|sin 2x|,画出函数图象,如图所示,
由图可知,f(x)的图象的对称轴是直线x=,k∈Z,
所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴,A正确;
f(x)的最小正周期是,B正确;
f(x)是偶函数,其图象没有对称中心,C错误;
由图可知,f(x)=|sin 2x|在区间上单调递减,D错误.
18.-　∵θ∈,
∴sin θ>0,2θ∈,∴cos 2θ≤0.
∴cos 2θ=-=-=-.
又cos 2θ=1-2sin2θ,
∴sin2θ=,∴sin θ=.
19.2sin　∵2π<α<3π,∴π<.
∴
==2sin.
20.证明 -tan θtan 2θ==
=1.
21.解 (方法1)由倍角公式cos 2α=1-2sin2α,得sin2α=.
原式=[cos(2α-)+cos(2α+)-cos 2α]
=(2cos 2αcos-cos 2α)=.
(方法2)sin2(α-)+sin2(α+)-sin2α
=(sin α-cos α)2+(sin α+cos α)2-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=.
22.解 (1)∵α,β为锐角,tan α=,
∴sin α=,cos α=,
∴sin 2α=2sin αcos α=2×,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=,
∴sin 2α-cos 2α=.
(2)∵tan α=,∴tan 2α=.
∵α,β为锐角,∴0<α+β<π,
∴sin(α+β)=,tan(α+β)==-2,
∴tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.
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