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2025人教A版数学必修第一册
第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值可以是(　　)
A. B.
C.- D.-
2.[探究点二]函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则其解析式为(　　)
A.y=5sin B.y=5sin
C.y=5sin D.y=5sin
3.[探究点一]已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)的图象的一条对称轴为直线x=,一个对称中心为,则ω有(　　)
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
4.[探究点一]将函数y=sin(2x+φ)图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的取值为(　　)
A. B.
C.0 D.-
5.[探究点二·2024北京高一期末]函数f(x)=2sin(ωx-φ)(ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)
A.2,- B.2,-
C.2, D.4,-
6.[探究点二]已知函数y=sin(2x+φ)(-<φ<)的图象关于直线x=对称,则φ的值为
　　　　　　　　.
7.[探究点二]若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,-π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数的解析式f(x)=　　　　　.
8.[探究点三]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)在一个周期内,当x=时有最大值2,当x=时有最小值-2,则ω=　　　　　,φ=　　　　　.
B级　关键能力提升练
9.函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间[]上单调递增,在区间[]上单调递减,则实数ω的值为(　　)
A.10 B.18 C.2 D.8
10.(多选题)将函数y=sin(x+φ)图象F上所有的点向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为,则φ的取值不可能是(　　)
A. B. C. D.
11.(多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点(-,0)对称
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.直线y=1与函数y=f(x)(-≤x≤)的图象的所有交点的横坐标之和为
12.若函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)中心对称,x0∈[0,],则x0=　　　　.
13.将函数f(x)=cos(x+φ)(|φ|<)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,所得函数图象关于原点对称,则φ=　　　　　.
14.[2024河南高三阶段练习]已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),当x=时,f(x)取得最大值2,f(x)的图象上与该最大值对应的点相邻的一个对称中心为点(,0).
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间[0,)上的值域.
C级　学科素养创新练
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.
答案：
1.D　f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+),因为f(x)为奇函数,可得θ+=kπ,k∈Z,所以θ=kπ-,k∈Z,令k=0,可得θ=-.故选D.
2.B　由题图知,A=5,由-π=,知T=3π,又ω>0,∴ω=,则y=5sin.
由题图知最高点坐标为,
将其代入y=5sin,得5sin=5,
∴+φ=2kπ+(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|<π,∴φ=,∴y=5sin.
3.A　由题意知,故T=≤π.
∵ω>0,∴ω≥2.经检验,ω=2满足题意.
4.B　将函数y=sin(2x+φ)图象上所有的点向左平移个单位长度后,
得到y=sin的图象.
因为y=sin(2x+φ+)是偶函数,所以φ++kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.当k=0时,φ=.
5.C　设函数f(x)的最小正周期为T,则由图象知T=-(-)=,解得T=π,
所以ω==2.
由点(,2)在函数f(x)的图象上,则f()=2sin(-φ)=2,则sin(-φ)=1,
则-φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=-2kπ+,k∈Z.
又已知-π<φ<π,则φ=.故选C.
6.-　由题意可得sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).
因为-<φ<,所以k=0,φ=-.
7.2sin(2x+)　根据图象可得A=2.
又T=2[-(-)]=,ω>0,解得ω=2.
又f()=2sin(2×+φ)=0,且在点(,0)处图象呈下降趋势,则+φ=π+2kπ,k∈Z,
即φ=2kπ+,k∈Z,因为-π<φ<π,可得φ=,故f(x)=2sin(2x+).
8.2　　由题意知,最小正周期T=2×()=π,
又ω>0,所以ω==2.又因为当x=时有最大值2,
所以f()=2sin(2×+φ)=2sin(+φ)=2,
所以+φ=+2kπ,k∈Z.又|φ|≤,所以φ=.
9.C　函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数y=g(x)=sin[ω(x-)]的图象,即g(x)=sin(ωx-).
由于函数g(x)在区间[]上单调递增,在区间[]上单调递减,
所以当x=时,函数g(x)取得最大值,即+2kπ,k∈Z,解得ω=2+8k,k∈Z.
由函数的单调性可知,所以,又ω>0,所以0<ω≤6,故k=0,ω=2.故选C.
10.ABC　图象F'对应的函数为y=sin,因为F'的一个对称中心为(,0),
所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.故φ的取值不可能是.
11.BCD　由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象可得,A=2,,
因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).
因为函数图象过点(,-2),所以+φ=+2kπ,k∈Z,
又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+).
f()=-1≠±2,故A错误;
f(-)=0,故B正确;
当x∈时,2x+,且函数y=2x+为增函数,
所以f(x)=2sin(2x+)在上单调递增,故C正确;
当-≤x≤时,2x+∈[0,4π],直线y=1与函数y=f(x)(-≤x≤)的图象有4个交点,
设这4个交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,由2x+,得x=,
由2x+,得x=,则x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.
12.　由f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,
所以ω=2,又图象关于点(x0,0)中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈[0,],则x0=.
13.　将函数f(x)=cos(x+φ)(|φ|<)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=cos(2x+φ)的图象,再把得到的图象向左平移个单位长度,
得到y=cos[2(x+)+φ]=cos(2x++φ)的图象.
∵所得函数图象关于原点对称,∴+φ=+kπ(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴k=0,φ=.
14.解 (1)设f(x)的最小正周期为T,由题意可知A=2,,则T=π,
又ω>0,可得ω==2,则f(x)=2cos(2x+φ),且图象过点(,2),
可得f()=2cos(2×+φ)=2cos(φ+)=2,
则φ+=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z.
又因为|φ|<,可知k=0,φ=-,所以f(x)=2cos(2x-).
(2)由题意可得g(x)=2cos[2(x+)-]=2cos(2x-),
因为0≤x<,则-≤2x-,可得-所以g(x)在区间[0,)上的值域为(-1,2].
15.解 (1)由题图,知A=2,由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=.又|φ|<,所以φ=.
设函数f(x)的最小正周期为T,又0,T=,所以<ω<,又f(x)的图象过点(,0),且在该点处呈上升趋势,所以ω+=2kπ,k∈Z,即ω=-,k∈Z,所以ω=2.
因此所求函数的解析式为f(x)=2sin(2x+).
(2)由(1)可知,T=π.
在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.
因为f(x)的最大值为2,
令lg x=2,得x=100,
令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z).而+31π>100,且+30π+<100,
所以在区间(0,100]内有31个形如[+kπ,+kπ](k∈Z,0≤k≤30)的区间.
在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在[,100]上有2×31=62(个)交点.
另外,两函数的图象在(0,)内还有一个交点,所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.
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