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2025人教A版数学必修第二册
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
A级必备知识基础练
1.[探究点一]在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是(　　)
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
2.[探究点二]在边长为1的正方形ABCD中,||等于(　　)
A.0 B.1
C. D.3
3.[探究点二·2024云南大理高一期末]如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则等于 (　　)
A. B. C. D.
4.(多选题)[探究点一]已知向量a∥b,且|a|≠|b|,则向量a+b的方向可能(　　)
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.与向量b的方向相反
5.[探究点二]向量()+()+化简后等于(　　)
A. B. C. D.
6.[探究点二]如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)=　　　　　;
(2)=　　　　　;
(3)=　　　　　;
(4)=　　　　　.
7.[探究点二·2024浙江奉化高一月考]已知下列各式:①;②()+;③;④.其中结果一定为0的是　　　　.(填序号)
8.[探究点一]已知||=3,||=3,∠AOB=60°,求||.
9.[探究点三]一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗
10.[探究点二]
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1);
(2).
B级关键能力提升练
11.在正六边形ABCDEF中,=(　　)
A. B. C. D.0
12.[2024北京东城高一月考]已知|a|=3,|b|=4,则“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(多选题)[2024福建莆田高一期中]已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为(　　)
A.4 B.8 C.10 D.12
14.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
15.如果|a|=6,|b|=3,那么|a+b|的取值范围是　　　　　.
16.△ABC是正三角形,给出下列等式:
①||=||;
②||=||;
③||=||.
其中正确的有　　　　.(写出所有正确等式的序号)
17.[苏教版教材例题]在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定
18.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
C级学科素养创新练
19.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||.
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
1.D　由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
2.B　||=||=||=1.
3.B　,故选B.
4.ABCD　∵a∥b,且|a|≠|b|,∴a与b共线,它们的和的方向可能与a同向或反向,与b同向或反向.
5.C　()+()+.
6.(1)　(2)　(3)　(4)0　(1)由平行四边形法则可知,.
(2).
(3).
(4)=0.
7.①④　=0;
②()+=()+()=;
;
=()+()==0.
8.
解如图,作平行四边形OACB,
∵||=||=3,
∴四边形OACB为菱形.
连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D.
∵∠AOB=60°,∴AB=||=3.
∴在Rt△OAD中,OD=,
∴||=||=2=3.
9.解如图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,所以可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=AC=1,AB=.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km.
10.解(1).
(2)=0.
11.D　如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则,
=0.故选D.
12.A　若向量a与b同向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=7.
若向量a与b反向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=1,所以由“向量a与b共线”不能推出“|a+b|=7”.
当|a|=3,|b|=4时,由“|a+b|=7”能推出“向量a与b同向”,所以“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.故选A.
13.AD　因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4.
因为a∥b,所以a,b方向相同或相反.
当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12,
当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.故选AD.
14.AC　∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,∴A,C正确.
15.[3,9]
16.①③　对于①,||=||,||=||,∵||=||,①正确;
对于②,||=||,如下图所示,
以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD,由平面向量加法的平行四边形法则可得,显然||≠||,②错误;
对于③,以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则,以CA,CB为邻边作平行四边形ACBF,则.由图可知,||=||,即||=||,③正确.
17.
解如图,设表示水流的速度,表示渡船在静水中的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.
因为,
所以四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,因为∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°.
所以渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.
18.证明因为,
所以.
又因为=0,所以.
19.解=0,.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,知四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°.
∴△ABD为正三角形.
∴||=||=||=2||=,||=||=||=1.
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