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2025人教A版数学必修第二册
6.2.2　向量的减法运算
A级必备知识基础练
1.(多选题)[探究点二]在△ABC中,向量可表示为(　　)
A. B.
C. D.
2.[探究点一]在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　)
A.=0 B.
C. D.=0
3.[探究点一]如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则= (　　)
A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c
4.(多选题)[探究点二]下列四个式子可以化简为的是(　　)
A.+()
B.()+()
C.
D.
5.[探究点三·苏教版教材习题]在△ABC中,C=90°,AC=BC,则下列等式成立的是　　　　.(填所有正确式子的序号)
①||=||;
②||=||;
③||=||;
④||2=||2+||2.
6. [探究点一]如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则=　　　　　.
7.[探究点三]在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　.
8. [探究点一]如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量:
(1)a-b;
(2)a-b+c.
B级关键能力提升练
9.(多选题)下列四式中能化简为的是(　　)
A.()-
B.()+()
C.()-
D.()+
10.[2024浙江温州高一段考]在四边形ABCD中,已知,则四边形ABCD为(　　)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
11.(多选题)给出下面四个结论,其中正确的结论是 (　　)
A.若线段AC=AB+BC,则向量
B.若向量,则线段AC=AB+BC
C.若向量共线,则线段AC=AB+BC
D.若向量反向共线,则||=AB+BC
12.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若,则下列结论正确的是(　　)
A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上
13.如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有　　　　　.(填序号)
①;②;③;④;⑤;⑥;⑦.
14.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,||=||,则||=　　　　.
15. 如图,在四边形ABCD中,,对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,用a和b表示.
16.化简:(1);
(2);
(3).
C级学科素养创新练
17. 如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示.
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
18.已知在△OAB中,=a,=b,满足|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△OAB的面积.
6.2.2　向量的减法运算
1.BCD　由向量的减法与加法可知B,C,D正确.
2.C　因为四边形ABCD是平行四边形,所以=0,=0,故只有C错误.
3.D　=b-c.
4.ABC　对于A,+()=()+;对于B,;对于C,;对于D,.故选ABC.
5.①②③④　如图所示,△ABC为等腰直角三角形,四边形ACBD是正方形.对于①,,因为四边形ACBD为正方形,所以BA=CD,故①正确;对于②,,故②正确;对于③,,故③正确;对于④,原式即为CD2=CB2+BC2,此式显然成立,故④正确.
6.a+c-b　由已知得,则=a+c-b.
7.
矩形　如图,因为,所以||=||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,平行四边形ABCD是矩形.
8.
解(1)在正方形ABCD中,a-b=.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b.
(2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形,
∴a+c=.
在△ADF中,=a+c-b=a-b+c,
即为所求.
9.ABD　对于A,()-;
对于B,()+()=+0=;
对于C,()-=2,
所以C不能化简为;
对于D,()+.
10.D　,,即,∴BA,CD相互平行,且BA=CD,则四边形ABCD为平行四边形.故选D.
11.AD　对于A,由AC=AB+BC得点B在线段AC上,则,A正确;
对于B,在△ABC中,,但AC≠AB+BC,B错误;
对于C,当反向共线时,||=||≠||+||,故AC≠AB+BC,C错误;
对于D,当反向共线时,||=|+(-)|=AB+BC,故D正确.故选AD.
12.D　,,
,即.
故点P在边AC所在的直线上.
13.①④　因为四边形ACDF是平行四边形,
所以.因为四边形ABDE是平行四边形,所以.
综上知与相等的向量是①④.
14.2　以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法的几何意义可知,,
∵||=||,∴||=||,
又||=4,M是线段BC的中点,
∴||=|=|=2.
15.解,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是DB的中点,也是AC的中点,
=b-a,
=-=-b-a.
16.解(1)+(-)=0.
(2).
(3).
17.解(1)=a+b,=a-b.
(2)由(1)知,a+b=,a-b=.
∵a+b与a-b所在直线互相垂直,∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的两条对角线相等,
∴当a与b所在直线互相垂直,
即AD⊥AB时,满足|a+b|=|a-b|.
(4)不可能.因为 ABCD的两条对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
18.
解∵|a|=|b|=|a-b|,
∴以所在线段为邻边作平行四边形OACB,如图所示,OA=OB=BA,
∴△OAB为正三角形,
∴|a+b|=||=2=22.
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