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2025人教A版数学必修第二册
6.2.3　向量的数乘运算
A级必备知识基础练
1.[探究点一·2024重庆万州高一期中]化简6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)为(　　)
A.6a+2b+8c B.6a-14b
C.-2a-14b D.6a+2b
2.[探究点三]已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　)
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
3.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则等于(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点一]已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为(　　)
①当λ<0时,λa与a的方向一定相反;
②当λ>0时,λa与a的方向一定相同;
③当λ≠0时,λa与a是共线向量;
④当λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤当λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(多选题)[探究点二]如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A. B.
C. D.
6.[探究点三]若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.
7.[探究点三]已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　 =　　　　.
8.[探究点二] 如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
9.[探究点一](1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);
(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
B级关键能力提升练
10.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
11.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 =0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　)
A.2 B. C.3 D.6
12.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)
A. B.
C.- D.-
13.在△ABC中,若3=2-2,则点D(　　)
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
14.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 (　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
15.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是(　　)
A.2a-3b=4e且a+2b=-2e
B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0
C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)
D.已知梯形ABCD,其中=a,=b
16.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　　,=　　　　　.(用a,b表示)
17.设a,b是两个不共线的非零向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　.
18.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.用向量a与b表示向量.
19.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M,N,C三点共线.
C级学科素养创新练
20.用向量运算刻画三角形的重心.
(1)已知△ABC,求一点G满足=0.
(2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心.
6.2.3　向量的数乘运算
1.D　原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.故选D.
2.A　∵向量=2a+4b,=a+2b,
=2,即A,B,D三点共线.
3.C　
如图,)=2.
4.D　根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正数或同为负数,所以λa和μa或者都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤是正确的.
5.AC　A选项,,A选项正确;
B选项,)+,B选项错误;
C选项,=-,C选项正确;
D选项,=-,D选项错误.故选AC.
6.等腰梯形　由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.
又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
7.2　2　因为-3+2=0,所以=2(),所以=2,所以=2.
8.(1)解)=(a+b),
(a+b).
b,=-a+b.
(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,
.共线.
又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.
9.解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.
∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.
(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b.
∴y=3x-b=3-b=a-b.
10.D　∵△DEF∽△BEA,,∴DF=AB..=a,=b,联立得(a-b),(a+b),(a+b)+(a-b)=a+b.
11.C　-2.
又=0,即=-,
=-3=λ=-λ,∴λ=3.
12.
C　设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以()==-.故选C.
13.A　因为3=2-2,所以3=2-2=2()=2,所以共线.
因为有公共端点B,所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上,故选A.
14.B　题中向量式中有两共起点的向量,于是可利用移项得,从而将向量式中的点O去掉.
=λ.令,则是以A为起点,向量所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量,即在∠BAC的平分线上.
=λ,共线.
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
15.AB　选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0,∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线.
选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0,
∴λ,μ都不为0,∴a=b,所以向量a,b共线.
选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴得不出向量a,b共线;
选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB.
16.
-b-a　-a+b　如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
,又=3,∴A,N,C三点共线,且=-,则=-b-a,b-(a+b)=-a+b.
17.-4　∵向量ka+2b与8a+kb的方向相反,
∴ka+2b=λ(8a+kb),其中λ<0,即k=8λ,2=λk,解得k=-4,或k=4,当k=4时,λ=>0,不符合题意,舍去,
∴k=-4.
18.解=a,=b,点A是BC的中点,
=-a.
=-a-b.
19.证明设=a,=b,则由向量减法的三角形法则可知a-b.又∵N在BD上且BN=BD,
)=(a+b),(a+b)-b=a-b=a-b,
,共线.
又有公共点C,∴C,M,N三点共线.
20.(1)解设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心,
延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图,
由向量加法的平行四边形法则,得=2,
因为点G为△ABC的重心,
所以||=2||,故=2,
所以=2=0,
所以△ABC的重心G满足题意.
(2)证明因为=0,所以=-,
以GA,GB为邻边作 GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则,得,所以,
设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知点D为AB和GE的中点,所以=2,即点G在中线CD上.
同理可证点G也在其他两边的中线上,即点G是三角形三条中线的交点,所以点G为△ABC的重心.
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