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2025人教A版数学必修第二册
第2课时　向量数量积的运算律
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么(a-4b)2=(　　)
A.2 B.2 C.6 D.12
2.[探究点一]若平面向量a与b的夹角为120°,|a|=2,(a-2b)·(a+3b)=3,则|b|=(　　)
A. B. C.2 D.3
3.[探究点二·2024天津南开高一月考]已知a,b是夹角为60°的单位向量,则|3a-2b|=(　　)
A.7 B.13 C. D.
4.[探究点三]已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,a⊥(a+2b),则向量a,b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点二·2024江苏南通高一段考]若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且|a+b|=2,则a·b=(　　)
A.-1 B.- C. D.1
6.[探究点三·2024广东深圳高一检测]已知a,b为单位向量,且|a+2b|=|a-b|,则a与b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
7.[探究点一·2024云南大理高一期末]已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=　　　　.
8.[探究点三]设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=,则a与b的夹角为　　　　.
9.[探究点三·苏教版教材例题]已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求证:a⊥b.
10.[探究点二、三·2024北京房山高一检测]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,=.
(1)求a·b;
(2)求|a-2b|;
(3)若(λa+b)⊥a,求实数λ的值.
B级关键能力提升练
11.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足()·(-2)=0,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
12.已知向量a,b满足2|a|=|b|,|a+b|=|2a-b|,则向量a与b夹角的余弦值为(　　)
A. B.- C. D.-
13.已知非零向量a,b满足|a|=2,且=,则|a+2b|的最小值为(　　)
A.2 B. C. D.1
14.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,若向量a,b满足=2a,=b,则(　　)
A.=2a+b B.a·b=-2
C.(4a+b)⊥ D.|a-b|=1
15.[2024广东深圳高一期末]已知e1与e2是夹角为的单位向量,a=e1-2e2,b=e1+e2,下列结论正确的是(　　)
A.|a|=
B.a·b=-
C.=
D.a在b上的投影向量为-b
16.已知a,b是单位向量,c=a+2b且a⊥c,则a·b=　　　　,|c|=　　　　.
17.已知|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3.
(1)求|a+b|的值;
(2)求a与a-2b的夹角.
18.[2024浙江宁波高一月考]单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-.
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角,求实数k的取值范围.
C级学科素养创新练
19.已知非零向量a与b的夹角为60°,且|a|=|a-b|=1,则(　　)
A.|2a-b|=1
B.|a-2b|=1
C.=60°
D.=60°
第2课时　向量数量积的运算律
1.D　原式=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12.
2.B　化简(a-2b)·(a+3b)=a2+a·b-6b2=4-|b|-6|b|2=3,|b|=或|b|=-(舍去).
3.C　|3a-2b|2=(3a-2b)2=9a2-12a·b+4b2=9-12×1×1×cos 60°+4=7,则|3a-2b|=.故选C.
4.D　∵a⊥(a+2b),
∴a·(a+2b)=0,即a2+2a·b=0,∴a·b=-1,
∴cos==-.
∵∈[0,π],∴=.故选D.
5.B　由|a+b|=2,可得a2+2a·b+b2=4,即1+2a·b+4=4,所以a·b=-.故选B.
6.C　由题意可得|a|=|b|=1,
将|a+2b|=|a-b|两边平方,可得|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+|b|2-2a·b,整理得6a·b=-3|b|2=-3,则a·b=-.
设a与b的夹角为θ,则θ∈[0,π],则cos θ==-,
所以θ=.故选C.
7.13　∵向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,
∴(2a-b)·a=2a2-a·b=2×22-2×5×-=13.
8.　设a与b的夹角为θ,由题意得(3a-2b)2=7,
所以9|a|2+4|b|2-12a·b=7,
又|a|=|b|=1,所以a·b=,
所以|a||b|cos θ=,即cos θ=.
又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为.
9.解依题意,得=1,e1·e2=1×1×cos 60°=.
因为a·b=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5-8+6e1·e2=5-8+6=0,所以a⊥b.
10.解(1)a·b=|a||b|cos=1.
(2)|a-2b|=.
(3)由题意得(λa+b)·a=0,即λa2+a·b=0,即λ+=0,λ=-.
11.A　因为()·(-2)=0,即·()=0,又因为,所以()·()=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形.
12.C　由|a+b|=|2a-b|,得(a+b)2=(2a-b)2,即a2=2a·b,所以cos=.故选C.
13.B　因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=4|b|2-4|b|+4=(2|b|-1)2+3≥3,所以|a+2b|≥,当且仅当|b|=时,等号成立.故选B.
14.AC　因为=2a,=b,
对于A,=2a+b,故A正确;
对于B,a·b=|·||cos 120°=2×2×-=-1,故B错误;
对于C,(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=4×(-1)+22=0,则(4a+b)⊥,故C正确:
对于D,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×(-1)+4=7≠1,即|a-b|≠1,故D错误.故选AC.
15.ACD　对于选项A,e1与e2是夹角为的单位向量,则|a|=,故|a|=,故选项A正确;
对于选项B,a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=1-1×1-2×1=-,故选项B错误;
对于选项C,|b|=,
所以cos==-,
又0≤≤π,所以=,故选项C正确;
对于选项D,a在b上的投影向量为|a|cos·=-b,故选项D正确.故选ACD.
16.-　因为c=a+2b且a⊥c,则a·c=a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2a·b=0,可得a·b=-,|c|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1+4×-+4=3,故|c|=.
17.解(1)∵|a|=2,|b|=1,(a-3b)·(a+b)=3,
∴22-3×12-2a·b=3,解得a·b=-1.
故|a+b|=.
(2)设a与a-2b的夹角为θ,则cos θ=,
又θ∈[0,π],∴θ=.
18.解(1)因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos=,即a与b夹角的余弦值为.
(2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角,
所以(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线.
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b),即ka+b=λa+3λb.
由(1)知a与b不共线,所以解得k=,
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠.
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)+3>0,解得k>-.
所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为-∪,+∞.
19.C　由|a|=|a-b|=1,可得a2+b2-2|a|·|b|cos 60°=1+|b|2-|b|=1,可得|b|=1,a·b=|a|·|b|·cos 60°=.
对于A,|2a-b|=,故A不正确;
对于B,|a-2b|=,故B不正确;
对于C,|a-b|==1,cos=,又∈[0,π],
故=60°,故C正确;
对于D,cos==-,又∈[0,π],故=120°,故D不正确.故选C.
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