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2025人教A版数学必修第二册
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
A级必备知识基础练
1.(多选题)[探究点三(角度1)]下列各对向量不共线的是(　　)
A.a=(2,3),b=(3,-2)
B.a=(2,3),b=(4,-6)
C.a=(,-1),b=(1,)
D.a=(1,),b=(,2)
2.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(　　)
A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7)
3.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　)
A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)
4.[探究点三(角度2)·2024浙江金华高一联考]已知向量a=(1,λ),b=(μ,-2),且a与b共线,则(　　)
A.=-2 B.=2 C.λμ=-2 D.λμ=2
5.[探究点三(角度1)]已知A(1,-3),B8,,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是(　　)
A.(-9,1) B.(9,-1)
C.(9,1) D.(-9,-1)
6.[探究点一]设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(　　)
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
7.[探究点二]已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(　　)
A. B. C.(3,2) D.(1,3)
8.[探究点二]已知A(2,0),B(0,2),若,则点C的坐标是　　　　　.
9.[探究点三(角度2)]已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,A,B,M三点共线,且+λ,则点M的坐标为　　　　.
10.[探究点三(角度2)]已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.
11.[探究点三(角度2)·北师大版教材例题]已知O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
12.[探究点二]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
13.[探究点一]已知点A(-1,1),B(2,-1).
(1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标;
(2)若直线AB上的点D满足=-2,求点D的坐标.
B级关键能力提升练
14.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有(　　)
A.平行 B.
C. D.-2
15.已知=(-1,3),=(2,-2),=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为(　　)
A.-2 B. C.- D.-
16.[2024四川眉山高一月考]已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),λa+μb=(-1,1),则λ+μ=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.25
17.已知向量a=,tan α,b=(cos α,1),α∈,π,且a∥b,则sin α=　　　　,cos 2α=　　　　.
18.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　　　　.
19.设a=(6,3a),b=(2,x2-2x),且满足a∥b的实数x存在,则实数a的取值范围是　　　　.
C级学科素养创新练
20.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).
(1)当k为何值时,a∥(b+c)
(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.
21.如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
22.[2024湖南常德高一检测]已知点A,B,C的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos α,sin α),α∈(0,π).
(1)若A,B,C三点共线,求角α的值;
(2)若D(s,t),且四边形ABCD为平行四边形,求s+t的取值范围.
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
1.ABC　A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=a,两个向量共线.
2.B　∵向量a=(2,3),b=(1,-1),
∴2a+b=(5,5),故选B.
3.D　∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即即c=(-2,0).故选D.
4.C　∵a=(1,λ),b=(μ,-2),a与b共线,
∴1×(-2)-λμ=0,化简得λμ=-2.故选C.
5.C　设点C的坐标是(x,y).
因为A,B,C三点共线,所以.
因为=8,-(1,-3)=7,,=(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),
所以7(y+3)-(x-1)=0,整理得x-2y=7,
经检验可知点(9,1)符合要求.
6.D　因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
7.A　设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
8.　设C(x,y),则=(x-2,y),=(-2,2),所以(x-2,y)=-,得x=,y=,即C.
9.0,　∵A,B,M三点共线,且+λ,
∴λ=.
又A(2,-1),B(-1,1),即=(2,-1),=(-1,1),
(2,-1)+(-1,1)=0,,则点M的坐标为0,.
10.9或　　=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,所以共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
所以m+n=9或m+n=.
11.解依题意,得=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
要使A,B,C三点共线,只需共线,即(4-k)(k-5)-6×(-7)=0.解得k=-2或k=11.
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
12.解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
(3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),
x1=0,y1=20.∴M(0,20).
设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
解得N(9,2).
=(9,-18).
13.解(1)设C(x,y),又A(-1,1),B(2,-1),
则=(x+1,y-1),=(2-x,-1-y),
∵点C是线段AB的中点,
,即解得C,0.
(2)设D(a,b),又A(-1,1),B(2,-1),=(a+1,b-1),=(a-2,b+1),=-2,
解得D1,-.
14.ACD　=(2,-1),=(-2,1),又2×1-(-1)×(-2)=0,所以平行,A正确.,所以B不正确.=(0,2)=,所以C正确.=(-4,0),-2=(0,2)-(4,2)=(-4,0),所以D正确.故选ACD.
15.D　根据题意,已知=(-1,3),=(2,-2),则=(3,-5),若B,C,D三点共线,则,则有3×2a=(-5)×(a+1),解得a=-.故选D.
16.B　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),又2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),所以
解得即a=(1,2),b=(2,1).
所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),则解得故λ+μ=0.故选B.
17.　因为向量a=,tan α,b=(cos α,1),且a∥b,所以tan αcos α=.
因为α∈,π,所以sin α=,
所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.
18.-2　因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
19.[-1,+∞)　∵a=(6,3a),b=(2,x2-2x),且a∥b,
∴6(x2-2x)-6a=0,即x2-2x-a=0.
由题意知关于x的方程x2-2x-a=0有解,
∴Δ=4+4a≥0,
∴a≥-1,即a的取值范围是[-1,+∞).
20.解(1)∵a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),
∴b+c=(10,k+7),
又a∥(b+c),∴1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,
∴当k=13时,a∥(b+c).
(2)当k=1时,b=(2,1).
c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n),
解得
21.解因为(0,5)=,
所以C.
因为(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.
因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①
因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.
22.解(1)∵A,B,C三点共线,.
又=(-1,1),=(cos α,sin α),
∴-cos α-sin α=0,即tan α=-1.
又α∈(0,π),∴α=.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,.
而=(cos α-s,sin α-t),∴cos α-s=-1,sin α-t=1,∴s=cos α+1,t=sin α-1,
∴s+t=cos α+sin α=sinα+.
∵α∈(0,π)且α≠,<α+,且α+≠π,
∴-∴s+t的取值范围为(-1,0)∪(0,].
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