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2025人教A版数学必修第二册
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B. C.0 D.
2.[探究点二(角度1)]
体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　)(参考数据:取重力加速度大小g=10 m/s2,=1.732)
A.64 B.62 C.76 D.60
3.[探究点一(角度3)]已知点G是△ABC的重心,=λ+μ(λ,μ∈R),若A=120°,=-2,则||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点二(角度2)]一条河宽为800 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为2 m/s,水速为1.2 m/s,则船到达B处所需时间为　　　　 s.
5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10 N,则每根绳子的拉力大小为　　　　　 N.
6.[探究点一(角度3)]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长是　　　　　.
7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向.
B级关键能力提升练
9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若()·()=()·()=0,则O为△ABC的(　　)
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
10.(多选题)已知△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是(　　)
A.若||=||=||,则点O是△ABC的外心
B.若=0,则点N是△ABC的重心
C.若,则点P是△ABC的垂心
D.若·=0,且,则△ABC为直角三角形
11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是　　　　　 km/h.
12.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则向量的夹角为　　　　　,四边形ABCD的面积为　　　　　.
13.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
14.[北师大版教材例题]如图,已知 ABCD的两条对角线相交于点M.求证:AC,BD互相平分.
15.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
C级学科素养创新练
16.[北师大版教材例题]已知AD,BE,CF是△ABC的三条高.求证:AD,BE,CF相交于一点.
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
1.
B　如图建立平面直角坐标系,
则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),
=(-3,-4),=(3,-4).
又∠BDC为的夹角,
∴cos∠BDC=.
2.B　设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|=360 N,=60°,
∴|F1+F2|==360≈624(N),
∴mg≈624,∴m≈62.
故选B.
3.C　∵点G是△ABC的重心,).∵A=120°,=-2,=||||cos 120°=-2.设||=x,||=y,∴||||=4,即xy=4.||=|=.∵x2+y2≥2xy=8(当且仅当x=y时取等号),∴||≥,即||的最小值为.故选C.
4.
500　根据题意,设船速为v1,水速为v2,作出如图所示的示意图,则|v1|=2 m/s,|v2|=1.2 m/s,
因为v实际=v1+v2,且v实际⊥v2,所以|v实际|=(m/s),
所以所需时间t==500(s).
5.10　设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10 N,∴每根绳子的拉力都为10 N.
6.　
如图,.
∵E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,
∴2=()+()+()=.
∵∠ABC=75°,∠BCD=45°,∴<>=60°,
∴||=
=
=.
∴EF的长为.
7.证明　=()·()
=
=
=
=-|2+|2.
因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE.
8.解设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1.
如图,令=-v1,
=-2v1,实际风速为v.
,
=v-v1.
这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度.
,=v-2v1.
这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速.
由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°,
∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h.
∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风.
9.B　因为()·()=0,则()·()=0,所以=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心.
10.ABC　对于A,因为||=||=||,所以点O到△ABC的三个顶点的距离相等,所以O为△ABC的外心,故A正确;
对于B,设D为BC的中点,由=0,得2=-,即=2,所以点N在中线AD上.
同理可知点N在△ABC的另外两条中线上,所以N是△ABC的重心,故B正确;
对于C,由,得()·=0,即=0,所以,即CA⊥PB.同理,AB⊥PC,所以点P是△ABC的垂心,故C正确;
对于D,由·=0,得角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC,由,得cos∠BAC=,所以∠BAC=,所以△ABC为等边三角形,故D错误.故选ABC.
11.
2　如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.
由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.
即河水的流速是2 km/h.
12.　5　由=1×(-4)+2×2=0知,故向量的夹角为.
又∵||=,||==2,
∴四边形ABCD的面积S=|||=2=5.
13.
证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),
则D(1,0),=(2,-2).
设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,所以=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以.
又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
14.证明设=x=y,则=x=x+x+y+y()=(1-y)+y.
于是得到关于基底{}的两个分解式.
因为分解是唯一的,所以解方程组,得
所以点M是AC和BD的中点,即对角线AC和BD在交点M处互相平分.
15.解
如图,设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是||+||,两次飞行的位移的和指的是.
依题意,有||+||=800+800=1 600(km).
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,所以||==800(km),
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°.
16.证明如图,设AD与BE交于点H,以下只需证明点H在CF上.
因为AD⊥BC,BE⊥CA,
所以=0,=0.
也就是()·=0, ①
()·=0. ②
①-②,得·()=0,即=0,所以CH⊥AB.
又CF⊥AB,所以C,H,F三点共线,点H在CF上.
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