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2025人教A版数学必修第二册
第2课时　正弦定理
A级必备知识基础练
1.[探究点一·2024江苏南京高一检测]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=,c=4,cos C=,则b=(　　)
A.3 B.3 C. D.
2.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,b=,A=,则B=(　　)
A. B.
C. D.
3.[探究点四]在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于(　　)
A. B.±
C.- D.±
4.[探究点三·2024辽宁本溪高一检测]在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则△ABC是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
5.[探究点二]在△ABC中,a=4,b=12,A=,则此三角形(　　)
A.无解 B.有两解
C.有一解 D.解的个数不确定
6.[探究点三]在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
7.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=,B=,tan C=2,则c=　.
8.[探究点一]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　.
9.[探究点二、四]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)当a=7时,求△ABC的面积.
B级关键能力提升练
10.如图,在△ABC中,角C的平分线CD交边AB于点D,A=,AC=2,CD=3,则BC=(　　)
A.3 B.4 C.4 D.6
11.在△ABC中,A=60°,a=,则等于(　　)
A. B. C. D.2
12.[2024甘肃平凉高一月考]已知△ABC的外接圆半径为4,sin B+sin C=,sin Bsin C=,则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C. D.
13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos B-cos A=cos C,a=3,b=4,则cos A的值为(　　)
A. B. C. D.
14.[2024河南洛阳高二检测]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,c2=a2+b2-ab,则△ABC的形状是(　　)
A.钝角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
15.(多选题)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,sin B=sin 2A,S△ABC是△ABC的面积,则(　　)
A.sin B= B.cos A=-
C.c=3 D.S△ABC=2
16.在△ABC中,B=,BC边上的高AD等于BC,且AD=1,则AC=　　　　　,sin∠BAC=　　　　　.
17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sin B=3sin C,△ABC的面积为,则cos A=　　　　,a=　　　　.
18.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
19.[北师大版教材例题]如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求∠BAD的正弦值和BD的长.
C级学科素养创新练
20.(多选题)锐角△ABC中,三个内角分别是A,B,C,且A>B,则下列说法正确的是(　　)
A.sin A>sin B B.cos AC.sin A>cos B D.sin B>cos A
21.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.
(1)求;
(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.
第2课时　正弦定理
1.B　∵cos C=,C∈(0,π),
∴sin C=,又B=,c=4,
由正弦定理,可得,解得b=3.故选B.
2.D　在△ABC中,由正弦定理,得sin B=.
因为a=,b=,A=,所以bsin A又03.B　由S=AB·BC·sin∠ABC,得4=2×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=,从而cos∠ABC=.
4.C　因为sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,由正弦定理得a∶b∶c=4∶5∶6,设a=4t(t>0),则b=5t,c=6t,由余弦定理得cos C=>0,则C为锐角,又C为最大内角,故△ABC为锐角三角形.故选C.
5.B　在△ABC中,a=4,b=12,A=,则bsin A=12=6,可得bsin A6.B　由已知,得=b=,所以sin B=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.
7.2　由题意知tan C=2,又C∈(0,π),所以C为锐角,且sin C=2cos C.
∵sin2C+cos2C=1,∴5cos2C=1,
∴cos C=,∴sin C=,
在△ABC中,由正弦定理得,即,
所以c==2.
8.　在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,
又a=1,故由正弦定理得b=.
9.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c=a,所以由正弦定理,得sin C=.
(2)因为a=7,所以c=7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bcsin A=8×3=6.
10.D　在△ACD中,根据正弦定理得sin∠ADC=,
因为∠ADC所以∠ACD=π-,
所以∠ACB=,则∠B=,所以AB=AC=2.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=(2)2+(2)2-2×22-=36,所以BC=6.故选D.
11.B　由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C得=2R=.
12.D　由sin B+sin C=,sin Bsin C=,解得sin B=sin C=.
由正弦定理可得b=2Rsin B=3,c=2Rsin C=3,所以B=C,
则sin A=sin(π-2B)=sin 2B=2sin Bcos B=2,所以S△ABC=bcsin A=9.故选D.
13.B　由2cos B-cos A=cos C,可得2bcos B=ccos A+acos C,
由正弦定理得2sin Bcos B=(cos Asin C+sin Acos C),
故2sin Bcos B=sin(A+C)=sin B,
又sin B>0,所以cos B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
在△ABC中,由正弦定理得,又a=3,b=4,
所以sin A=,因为a14.B　由c2=a2+b2-ab,得a2+b2-c2=ab,而cos C=,又0°因为,由正弦定理得,
即,得sin=sin,
又∈0,,所以,得A=B,
又C=60°,所以△ABC为等边三角形.故选B.
15.ACD　因为sin B=sin 2A,所以sin B=2sin Acos A,即b=2acos A.
又a=3,b=2,所以cos A=,sin A=,sin B=.
又bcos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B==cos A,所以c=a=3.
S△ABC=bcsin A=2×3=2.故选ACD.
16.　如图,由AD=1,B=,知BD=1,
又AD=BC=BD,∴BC=3,DC=2,AC=.
由正弦定理知,sin∠BAC=.
17.-　4　在△ABC中,∵2sin B=3sin C,
∴2b=3c,又b-c=a,∴a=2c,b=.
∴由余弦定理可得cos A==-,又A∈(0,π),∴sin A=,
又△ABC的面积为,bcsin A=,即c×c,解得c=2.∴a=4.
18.解由已知,得a2·=b2·.又由正弦定理,得sin2 A·=sin2 B·,即,
所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
19.解在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°.
由正弦定理,得,sin∠ABC=.
因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,于是sin∠BAD=sin∠ABC=.
在△ABD中,由正弦定理,得,BD=.
20.ABCD　设内角A,B,C的对边分别是a,b,c.A>B a>b sin A>sin B,故A成立.函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数,∵A>B,∴cos A,∴A>-B,函数y=sin x在区间0,上是增函数,则有sin A>sin-B,即sin A>cos B,C成立,同理sin B>cos A,故D成立.
21.解(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以AB=2AC.
由正弦定理可得.
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,
所以BD=2DC=.
在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
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