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2025人教A版数学必修第二册
7.1.2　复数的几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图,在复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　　)
A.2+2i B.3+i C.3+3i D.3+2i
2.[探究点三]已知复数z=2+i(i是虚数单位),则|z|为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
3.[探究点四·2024云南红河高一期末]已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则= (　　)
A.-1+2i B.1+2i
C.1-2i D.-1-2i
4.[探究点三]复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的集合是 (　　)
A.直线
B.线段
C.圆
D.半径为1的圆以及圆内的部分
5.[探究点二]在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
6.[探究点三]已知0A.(1,5) B.(1,3)
C.(1,) D.(1,)
7.[探究点三]复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是　　　　　.
8.[探究点一]已知i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　.
9.[探究点一]设复数z=a2+a-2+(a2-7a+6)i,其中a∈R.
(1)若z是纯虚数,求a的值;
(2)z所对应的点在复平面的第四象限内,求a的取值范围.
B级关键能力提升练
10.[2024北京东城高一期末]在复平面内,O是坐标原点,向量对应的复数是-1+i,将绕点O按逆时针方向旋转,则所得向量对应的复数为 (　　)
A.- B.-i C.-1 D.-i
11.(多选题)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
12.(多选题)设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法正确的有 (　　)
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,
D.当z为实数时,
13.若复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　.
14.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z=　　　　　.
15.设复数z=cos+α+(sin α)i(i为虚数单位)且α∈-,0,若|z|=1,则tan 2α=　.
16.把复数1+i在复平面内对应的点向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点A,把所得向量绕点O按逆时针方向旋转90°,得到向量,则点B对应的复数为　　　　　.
17.复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=　　　　　,|z|=　　　　　.
18.在复平面内,已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限 复数z所对应的点的轨迹是什么
19.已知z1=-3+4i,|z|=2,求|z-z1|的最大值和最小值.
C级学科素养创新练
20.已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.
7.1.2　复数的几何意义
1.D　点P的坐标为(3,2),所以在复平面内点P所表示的复数为3+2i.故选D.
2.A　|z|=.故选A.
3.D　由题意,z=-1+2i,故=-1-2i,故选D.
4.D　∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,∴点Z的集合是在以原点为圆心,1为半径的圆及其内部,故选D.
5.B　∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i.
6.C　由已知,得||=.由0所以17.(-1,1)　因为|z1|=,|z2|=.
又|z1|<|z2|,所以,解得-18.-2+3i　在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与点(a,b)一一对应.因为点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+3i.
9.解(1)由z是纯虚数,可得解得a=-2.
(2)由题意知解得1所以a的取值范围是(1,6).
10.
A　如图,由题意可知=(-1,1),绕点O按逆时针方向旋转后点Z到达x轴上的点Z1,又||=||=,所以点Z1的坐标为(-,0),所以对应的复数为-.故选A.
11.AC　|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.
12.ABD　对于A,当z为纯虚数时,设z=bi(b∈R且b≠0),则P(0,b),O(0,0),Q(0,-b)三点共线,故A正确;对于B,当z=1+i时,=1-i,则P(1,1),Q(1,-1),|OP|=|OQ|,且=1×1-1×1=0,则△POQ为等腰直角三角形,故B正确;对于C,取z=1,则z==1,有,故C错误;对于D,当z为实数时,z=,则,故D正确.故选ABD.
13.5　复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a),由题意知=λ(λ∈R),即=λ(),则(-2,4)=λ(-3,a+1),有解得a=5.
14.±i　因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),
则|z-1|=|ai-1|=.
又因为|-1+i|=,所以,即a2=1,
所以a=±1,即z=±i.
15.-2　由题设z=-sin α+(sin α)i,则|z|==1,所以sin2α=,又α∈-,0,则sin α=-,cos α=,
所以tan α=-,则tan 2α==-2.
16.2i　复数1+i在复平面内对应的点为(1,1),将其向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到点A(2,0),所以=(2,0).所以=(0,2),即点B对应的复数为2i.
17.1　2　∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
解得a=1,∴z=2i,∴|z|=2.
18.解∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,
-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴z的实部为正数,虚部为负数,
∴复数z所对应的点在第四象限.
设z=x+yi(x,y∈R),则
消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),
∴复数z对应点的轨迹是一条射线,
其方程为y=-x+2(x≥3).
19.解如图,
|z|=2表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心,2为半径的圆上,而z1在坐标系中的对应点的坐标为(-3,4),
∴|z-z1|可看作是点(-3,4)到圆上的点的距离.
由图可知,点(-3,4)到圆心(即原点)的距离为=5,故|z-z1|max=5+2=7,|z-z1|min=5-2=3.
20.解∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,
>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.
若1-2a=0,解得a=,
当a=时,0·x2+>0恒成立.
若1-2a≠0,则
解得-1综上可得实数a的取值范围是.
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