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2025人教A版数学必修第二册
7.2.2　复数的乘、除运算
A级必备知识基础练
1.[探究点二]若复数z=(i为虚数单位),则z2 022=(　　)
A.-1 B.1
C.i D.-i
2.[探究点一·2024湖南邵阳高一检测]若z=1-2i,则(1+)·z=(　　)
A.-2-4i B.-2+4i
C.6-2i D.6+2i
3.[探究点一·2024云南大理高一检测]若(1+i)(a+i)=-5+bi,其中a,b∈R,则b=(　　)
A.3 B.2 C.-2 D.-3
4.[探究点一]若z(1+i)=2i,则z=(　　)
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
5.[探究点一]设z=+2i,则|z|=(　　)
A.0 B. C.1 D.
6.[探究点一]已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.[探究点一]设z=,则z+=(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
8.(多选题)[探究点二]若复数z=,则下列说法正确的是(　　)
A.z的共轭复数
B.|z|=
C.复数z的实部与虚部相等
D.复数z在复平面内对应的点在第四象限
9.[探究点三]方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=　　　　　.
10.[探究点一]已知复数z=(i是虚数单位),则z2=　　　　　;|z|=　　　　　.
11.[探究点一、三·2024江苏徐州高一检测]已知复数z=+1+i,i为虚数单位.
(1)求|z|和;
(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
B级关键能力提升练
12.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是(　　)
A.若|z1-z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则
13.若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(　　)
A.z的虚部为-i B.|z|=2
C.z的共轭复数为-1-i D.z2为纯虚数
14.已知复数z满足z-1=i(3-z),则z=(　　)
A.2-i B.2+i C.1+i D.1-i
15.(多选题)已知z(2+i)=i2,则下列说法正确的是 (　　)
A.z在复平面内对应的点的坐标为,-
B.=-i
C.z在复平面内对应的点与点,-关于原点对称
D.|z|=
16.(多选题)已知z1与z2是共轭复数,以下四个命题正确的是(　　)
A.z1z2=|z1z2| B.<|z2|2
C.z1+z2∈R D.∈R
17.若复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点在直线y=x上,则实数a=　　　　.
18.复数z=-,则1+z+z2=　　　　　.
19.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　.
20.已知z是虚数,z+是实数,是虚数z的共轭复数,则(-z)2+z+的最小值是　　　　　.
21.已知复数z=1-2i.
(1)求|z|;
(2)若z1=,求z1;
(3)若|z2|=,且zz2是纯虚数,求z2.
22.在复平面内,O是坐标原点,向量对应的复数分别为z1=1-2i,z2=3+ai(a∈R).
(1)求|z1+z2|的最小值;
(2)若,求实数a的值;
(3)若复数对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
23.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.
(1)求p+q的值;
(2)复数w满足zw是实数,且|w|=2,求复数w的值.
C级学科素养创新练
24.定义运算ac　bd=ad-bc.若复数x=,y=4i2xi　xi0,则|x|=　　　　　,y=　　　　　.
25.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,证明:u为纯虚数.
7.2.2　复数的乘、除运算
1.A　因为z==-i,所以z2=-1,z4=1,所以z2 022=z2=-1.故选A.
2.C　由复数z=1-2i,可得=1+2i,所以(1+)·z=(2+2i)(1-2i)=6-2i.故选C.
3.D　∵(1+i)(a+i)=a+i+ai+i2=(a-1)+(a+1)i=-5+bi,
解得故选D.
4.D　z==1+i.故选D.
5.C　z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C.
6.D　=1+i,∴z-2==-i,
∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D.
7.C　z==-i,=-i,z+=-1.故选C.
8.BD　因为z=,所以,故A错误;
|z|=,故B正确;
复数z的实部为,虚部为-,不相等,故C错误;
复数z在复平面内对应的点为,-,在第四象限,故D正确,故选BD.
9.-1±i　由求根公式可得,x==-1±i.
10.2i　　z==-1-i,
∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=.
11.解(1)∵复数z=+1+i=+1+i=1-2i+1+i=2-i,
∴|z|==2+i.
(2)∵复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,
∴(2-i)2+m(2-i)+n=0,
∴4-4i+i2+2m-mi+n=0,∴(3+2m+n)-(m+4)i=0,
解得m=-4,n=5.
12.ABC　A,|z1-z2|=0 z1-z2=0 z1=z2 ,真命题;
B,z1==z2,真命题;
C,|z1|=|z2| |z1|2=|z2|2 z1=z2,真命题;
D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.
13.D　z==1-i.z的虚部为-1,A错误;
|z|=,B错误;
=1+i,C错误;
z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.
14.B　由z-1=i(3-z),得z-1=3i-zi,即z(1+i)=1+3i,故z==2+i.故选B.
15.BCD　由题意得z==-i,即z在复平面内对应的点的坐标为-,与点,-关于原点对称,A错误,C正确;
=-i,B正确;
|z|=,D正确.故选BCD.
16.AC　设z1=a+bi,z2=a-bi,a,b∈R,
因为z1z2=a2+b2,|z1z2|=a2+b2,所以z1z2=|z1z2|,
所以选项A正确;
因为=a2-b2+2abi,=()2=a2+b2,
所以与|z2|2不能比较大小,所以选项B不正确;
因为z1+z2=2a∈R,所以选项C正确;
i,因为不一定是0,所以不一定是实数,
所以选项D不正确.故选AC.
17.3　∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i,
∴复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3.
18.0　z=-=-=-i,∴1+z+z2=1-i+-i2=1-i+-i=0.
19.5　2　由已知(a+bi)2=3+4i,即a2-b2+2abi=3+4i,从而有解得则a2+b2=5,ab=2.
20.-　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0),
则z+=a+bi+=a++b-i,
因为z+是实数,所以b-=0,因为b≠0,所以1-=0,所以a2+b2=2,则z+=2a.
因为z=a+bi,所以=a-bi,所以(-z)2=(-2bi)2=-4b2,所以(-z)2+z+=-4b2+2a,
因为a2+b2=2,所以b2=2-a2,
因为b2≥0,所以2-a2≥0,所以-则(-z)2+z+=-4b2+2a=4a2+2a-8=2a+2-≥-,当a=-时,取到最值.
21.解(1)|z|=.
(2)z1==-i.
(3)设z2=a+bi,a,b均为实数,
则|z2|=,所以a2+b2=5①,
zz2=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,
因为zz2是纯虚数,所以a+2b=0,b-2a≠0②,
由①②联立,解得
所以z2=2-i或z2=-2+i.
22.解(1)∵z1=1-2i,z2=3+ai,
∴z1+z2=1-2i+3+ai=4+(a-2)i,
∴|z1+z2|=≥4,当a=2时,取到最值.
故|z1+z2|的最小值为4.
(2)由题设知=(1,-2),=(3,a).
,=3-2a=0,解得a=.
(3)i,由题知解得-6所以实数a的取值范围是-6,.
23.解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.
(2)设w=a+bi(a,b∈R).
由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.
又|w|=2,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.
24.1　-2　因为x==-i,则|x|=1,
所以y=4i2xi　xi0=4i2　10=4i·0-1×2=-2.
25.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i.
因为ω是实数且y≠0,所以y-=0,
所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.
因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,
从而有-(2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,由(1)知,x2+y2=1,所以u==-i.
因为x∈,y≠0,所以≠0,所以u为纯虚数.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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