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2025人教A版数学必修第二册
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
A级必备知识基础练
1.[探究点一]复数-i的三角形式是(　　)
A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60°
C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120°
2.[探究点一]已知z=cos+isin,则下列结论正确的是(　　)
A.z2的实部为1 B.z2=z-1
C.z2= D.|z2|=2
3.[探究点一·2024福建厦门高一月考]已知复数z=-i,则arg z=(　　)
A. B.- C. D.
4.[探究点二]复数cos+isin经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(　　)
A.3 B.12
C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z)
5.[探究点二][2(cos 60°+isin 60°)]3=　　　　　.
6.[探究点三]计算(cos π+isin π)÷cos+isin=　　　　　.
7.[探究点一]已知复数z1=-+i,若复数z满足2iz=z1,则复数z的辐角主值为　　　　　.
8.[探究点二]已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.
9.[探究点一]将下列复数化为三角形式:
(1)-+i;
(2)-1-i;
(3)-2cos+isin;
(4)2sin+icos.
B级关键能力提升练
10.若复数为实数,则正整数n的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.复数sin 4+icos 4的辐角主值为(　　)
A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4
12.已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,π,则z的三角形式为z=　　　　.
13.计算:z=2÷cos+isin=　　　　　,则|z|=　　　　　.
14.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题:
(1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;
(2)试求复数的模.
15.计算下列各式的值:
(1)-i·2cos+isin;
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).
16.设z1=+i,z2=1-i,z3=sin+icos,求的值.
17.如图所示,已知平面内并列的三个全等的正方形,利用复数证明α+β+γ=.
C级学科素养创新练
18.设A,B,C是△ABC的内角,z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)是一个实数,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状不能确定
19.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.
(1)求ω;
(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.D　令z=-i=a+bi(a,b∈R),z的模是r,z的辐角是θ,则r=|z|=1,a=-,b=可取θ=120°.∴-i的三角形式是cos 120°+isin 120°.
2.B　z=cos+isini.z2=i2=i=-i,其实部为-,故A错误;z-1=-i=z2,故B正确;i≠z2,故C错误;|z2|=-2+2=1,故D错误.故选B.
3.C　因为z=-i=2i=2cos+isin,所以arg z=.故选C.
4.C　由题意,得cos+isinn=cos+isin=cos-isin,由复数相等的定义,得解得=2kπ-(k∈Z),∴n=6k-1(k∈Z).
5.-8　原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]=8(cos 180°+isin 180°)=-8.
6.-i　(cos π+isin π)÷cos+isin=cos+isin=-i.
7.　因为z1=-+i,2iz=z1,所以z=i=cos+isin,所以复数z的辐角主值为.
8.解z1z2=6×cos+isin=3=3i.
首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.
9.解(1)-+i=2cos+isin;
(2)-1-i=2cos+isin;
(3)-2cos+isin=2cos+isin;
(4)2sin+icos=2cos+isin.
10.B　因为=i,所以由题意知in为实数,所以正整数n的最小值为2.
11.D　sin 4+icos 4=cos-4+isin-4.
12.2cos+isin　由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1i.
因为arg z∈,π,所以z=-1-i应舍去,
所以z=-1+i=2cos+isin.
13.2-2i　4　z=2÷cos+isin=2(cos 0+isin 0)÷cos+isin=4cos-+isin-=2-2i,
则|z|=|2-2i|==4.
14.解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.
(2)由题意可知i+=1+i,
因此,.
15.解(1)·2cos+isin=cos+isin·2cos+isin=2(cos π+isin π)=-2.
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)=30(cos 270°+isin 270°)=-30i.
16.解∵z1=+i=2cos+isin,
z2=1-i=cos+isin,
=
=4cos+isin
=4cos5π++isin5π+
=-2-2i.
17.
证明假设每个正方形的边长为1,建立如图所示平面直角坐标系,确定复平面.
由平行线的内错角相等可知,α,β,γ分别等于复数3+i,2+i,1+i的辐角主值,因此α+β+γ应该是(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角.
又因为(3+i)(2+i)(1+i)=(5+5i)(1+i)=10i,而arg(10i)=,所以存在整数k,使得α+β+γ=+2kπ,注意到α,β,γ都是锐角,于是k=0,从而α+β+γ=.
18.C　由题意知复数z的一个辐角是A-B+C=π-2B,由于z是实数,所以sin(π-2B)=0,即sin 2B=0,因为019.解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),
将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,
化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,
解得ω=-1+i.
(2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|
=
=.
∵|z-ω|=1+,=1+,
化简得cos=1.
≤θ+<2π+,∴θ+=2π,即θ=.
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