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2025人教A版数学必修第二册
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征　简单组合体的结构特征
A级必备知识基础练
1.[探究点二·2024广东深圳高一段考]如图所示的几何体是某次比赛的奖杯,该几何体由(　　)
A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B.一个球、一个长方体、一个四棱台构成
C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D.一个球、一个五棱柱、一个四棱台构成
2.[探究点二]日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是(　　)
A.一个棱柱中挖去一个棱柱
B.一个棱柱中挖去一个圆柱
C.一个圆柱中挖去一个棱锥
D.一个棱台中挖去一个圆柱
3.[探究点三]《九章算术》中有这样的图形:今有圆锥,下底面周长为三丈五尺,高五丈一尺(1丈=10尺);若该圆锥的母线长x尺,则x=(　　)
A. B.
C. D.
4.[探究点一]下列说法正确的是(　　)
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台
5.[探究点三]已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为　　　　　.
6.[探究点三]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的底面半径为　　　　　.
7.[探究点三·人教B版教材习题]一个圆锥的母线长为20,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的高.
8.[探究点三]从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(lB级关键能力提升练
9.下列说法错误的是(　　)
A.正棱锥的所有侧棱长均相等
B.圆柱的母线垂直于底面
C.直棱柱的侧面都是全等的矩形
D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形
10.(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是 (　　)
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的
11.[2024河南信阳高一月考]某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列结论不正确的是(　　)
A.该几何体的面是等边三角形或正方形
B.该几何体恰有12个面
C.该几何体恰有24条棱
D.该几何体恰有12个顶点
12.下列命题正确的是(　　)
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;②连接球的任意两个经过球心的圆的交点的线段是球的直径;③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;④球面上任意三点可能在一条直线上;⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A.①②③ B.②③④
C.②③⑤ D.①④⑤
13.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为(　　)
A. B.3 C.12 D.36
14.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为(　　)
A.Q B.πQ C. D.
15.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是　　　　　.(填序号)
16.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.
C级学科素养创新练
17.圆台的上、下底面半径分别为5 cm、10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离.
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的结
构特征　简单组合体的结构特征
1.B　由图可知,该几何体是由一个球、一个长方体、一个四棱台构成.故选B.
2.B
3.C　易知三丈五尺=35尺,五丈一尺=51尺,
设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=35,所以r=,所以x=.故选C.
4.B　对于A,虽然各侧面都是正方形,但底面不一定是正方形,所以该四棱柱不一定是正方体,故A错误;
对于B,球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”,故B正确;
对于C,以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体,故C错误;
对于D,用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台,故D错误.故选B.
5.1　作轴截面如图,则.解得r=1.
6.2　设圆柱底面半径为r,由于圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,所以圆柱的高为2r,且(2r)2=16,解得r=2.
7.解作出圆锥的轴截面易知,圆锥的高h=20cos 30°=10.
8.
解轴截面如图.
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.
又CD∥OA,则CD=BC.∴x=l.
∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l9.C　对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长均相等,故A正确;对于B,根据圆柱的定义可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确;对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误;对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.
10.AB　如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确.
11.B　根据题图可得该几何体的面是等边三角形或正方形,A正确;
该几何体恰有14个面,B不正确;
该几何体恰有24条棱,C正确;
该几何体恰有12个顶点,D正确.故选B.
12.C　由球的概念与性质,当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故①错;②正确;③正确;球面上任意三点一定不共线,故④错误;根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.
13.B　根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,
设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为l,
∵圆台的上、下底面互相平行,,可得L=4l.
∵圆台的母线长为9,可得L-l=9,L=9,解得L=12,∴截去的圆锥的母线长为12-9=3.
14.C　圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为,所以底面半径为,所以底面的面积为π·.
15.①⑤　由题意,当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为①;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为⑤,
综上可知截面的图形可能是①⑤.
16.
解圆台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面的圆心.
过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.
由题意知DO1=1,AO2=4,
∴AF=3.
∵DE=2EF,∴DF=3EF,
,∴GE=2.
∴☉O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.
17.解(1)画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.
由图得,所求的最短距离是MB'.设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,10π=θR, ①
20π=θ(20+R), ②
由①②解得,θ=,R=20.
∴OM=30,OB'=40,则MB'=50.
故绳子的最短长度为50 cm.
(2)作OC垂直于B'M交于点C,OC是顶点O到MB'的最短距离,
令OC与弧AA'的交点为D,则DC是MB'与弧AA'的最短距离,DC=OC-OD=-20=4(cm),
即上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离是4 cm.
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