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2025人教A版数学必修第二册
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于 (　　)
A.12 B.48 C.64 D.72
2.[探究点二]已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
3.[探究点二]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　)
A. B. C. D.1
4.[探究点一]一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
5.[探究点二]正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)
A.3π B.
C. D.1
6.[探究点二]棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于(　　)
A.6+ B.3+2
C.6+2 D.6
7.[探究点二]如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　　.
8.[探究点三]已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　.
9.[探究点二]有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,则它的深度为　　　 cm.
B级关键能力提升练
10.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何 ”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺 ”(注:1丈=10尺)(　　)
A.1 946立方尺 B.3 892立方尺
C.7 784立方尺 D.11 676立方尺
11.一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1中盛有水,侧面ABCD为正方形,且A1A=16.如图,当平面ABB1A1水平放置时,水面的高度恰好为AD,那么将平面ABCD水平放置时,水面的高度等于　　　　　.
12.如图,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,则三棱锥A1-D1EF的体积为　　　　.
13.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　.
14.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=　　　　　.
15.广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2,那么玩具石凳的表面积为　　　　　　　.
16.已知正四棱台的高是12 cm,两底面边长之差为10 cm,表面积为512 cm2,则上、下底面边长分别为　　　　　 cm,体积为　　　　　 cm3.
17.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积.
18.[北师大版教材例题]
一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm,高是cm.求这个正三棱台的侧面积.
C级学科素养创新练
19.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.D　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形,
∴底面周长C=6×3=18,又侧面是矩形,侧棱长为4,
∴棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D.
2.C　因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为16,则S△ABC=a2sin 60°=a2,所以=S△ABC·AA1=a3=16,解得a=4.故选C.
3.A　三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,
∴三棱锥D-ACD1的体积为V=1×1×1=.
4.B　由题意得侧面三角形底边上的高为=2,
所以该四棱锥的表面积为22+42×2=12.
5.B　
如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为2×1=.
故几何体的体积为2.
6.C　依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=(S'++S)h=(2++4)×3=6+2.故选C.
7.10　因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,
所以AB·BC·CC1=120,
因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,
由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,
所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,
所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=120=10.
8.90　138　该几何体的体积V=4×6×3+4×3×3=90,表面积S=2×(4×6+4×3+6×3)-3×3+4×3×2+3+3×4=138.
9.75　设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h.由V=(S++S')h,得h==75(cm).
10.
B　如图所示,由题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,
设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为21×(62+202+6×20)=3 892(立方尺),故选B.
11.4　设正方形ABCD的边长为a,则当平面ABB1A1水平放置时,水的体积为16a=4a2,当平面ABCD水平放置时,设水面高度为h,则a2h=4a2,解得h=4.
12.a3　由已知A1D1=a,A1E=a,
所以A1D1·A1E=a·a=a2,
三棱锥F-A1D1E的高等于CD,CD=a,
所以a2×a=a3,
又因为,所以a3.
13.3∶4　设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,.
14.　
如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为h.
∵S△ABD=S△PAB,.
15.8+24　根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为822sin 60°+6×22=8+24.
16.2,12　688　
如图,点O,O1分别是下底面和上底面的中心,点E,E1分别是所在棱的中点,连接OO1,OE,O1E1,过点E1作E1F⊥OE,F是垂足.
设OE=x cm,则下底面边长为2x cm,上底面边长为(2x-10)cm,故O1E1=(x-5)cm,则FE=5 cm.
又正四棱台的高是12 cm,
∴EE1==13(cm).
故正四棱台的表面积S=(2x)2+(2x-10)2+4(2x+2x-10)×13=8(x2+8x-20)=512(cm2),解得x=6 cm,所以正四棱台下底面边长为12 cm,上底面边长为2 cm.
该正四棱台的体积V=12×(122++22)=4×(144+24+4)=688(cm3).
17.
解因为EB=BF=FD1=D1E=a,D1F∥EB,所以四边形EBFD1是菱形.
连接EF,则△EFB≌△EFD1.
易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等,
故=2=2.
又因为EA1·AB=a2,易知点F到底面EBA1的高是a,则a·a2=a3,所以=2a3.
18.
解如图,点O1,O分别是上、下底面的中心,则O1O=cm.
连接A1O1并延长交B1C1于点D1,连接AO并延长交BC于点D;
过D1作AD的垂线,垂足为点E;连接D1D.
在Rt△D1ED中,D1E=O1O=cm,DE=DO-OE=DO-D1O1=(6-3)=(cm),
DD1=(cm).
所以S正三棱台侧=3×(3+6)(cm2).
因此,三棱台的侧面积为 cm2.
19.解∵AB=10,
∴AD=AB=5,OD=AD=.
设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.
如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.
∴DH=OD-OH=x,
在Rt△D1DH中,D1D==2x.
∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,
(x+10)×2x,
即40=(x+10)(10-x),∴x=2,
故上底面的边长为2.
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