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2025人教A版数学必修第二册
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
A级必备知识基础练
1.[探究点三·2024陕西咸阳高一月考]两个球表面积的比为1∶4,则体积的比为(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶8 D.不确定
2.[探究点三·2024陕西宝鸡高一月考]将一个底面半径为3,高为4的圆柱形铁块熔化为铁水,恰好制成一个实心铁球,则在不考虑损耗的情况下,该实心铁球的半径是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
3.[探究点一、三·2024四川成都高一段考]如图所示,圆柱内有一个内切球,则圆柱的表面积与球的表面积之比为 (　　)
A. B. C. D.
4.[探究点二·2024浙江杭州高一月考]已知一个圆台的上底面半径为2,下底面半径为5,其侧面积为35π,则该圆台的体积为(　　)
A.208π B.156π C.104π D.52π
5.[探究点四]若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.8 C.8 D.8
6.[探究点二]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　　)
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
7.[探究点一]已知圆柱的底面半径为1,若圆柱的侧面展开图的面积为8π,则圆柱的高为　　　　　.
8.[探究点四]如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　.
9.[探究点三]某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
10.[探究点一、二]如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.
B级关键能力提升练
11.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是(　　)
A.10π B.12π C.15π D.20π
12.已知圆锥的顶点为点S,高是底面半径的倍,点A,B是底面圆周上的两点,当△SAB是等边三角形时面积为3,则圆锥的侧面积为(　　)
A.π B.2π C.3π D.4π
13.(多选题)已知圆锥底面半径为3,高为4,则下列说法正确的是(　　)
A.圆锥的体积是36π
B.圆锥的侧面积是15π
C.圆锥的内切球体积是
D.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
14.(多选题)一个圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,则圆台的(　　)
A.母线长是20 B.表面积是1 100π
C.高是10 D.体积是
15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)(　　)
A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸
16.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为2的“标准圆锥”的体积为　　　　　.
17.一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面面积相等,则这个正方体和圆柱的体积的比值为　　　　　.
18.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为　　　　　,表面积等于　　　　　.
19.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.
C级学科素养创新练
20.[2024山东潍坊高一月考]如图,圆锥的母线长为2,M为母线AB的中点,从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达点B,这条绳子的长度最小值为,则此圆锥的表面积为(　　)
A.π B. C. D.2π
21.[2024辽宁沈阳高一月考]如图,在圆锥PO中,用一个平行于底面的平面去截圆锥PO,可得一个圆锥PO1和一个圆台O1O,若圆锥PO1的体积是圆锥PO体积的,求圆锥PO1与圆台O1O的侧面积的比值.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、
球的表面积和体积
1.C　设两球的半径分别为r1,r2,
∵两球的表面积之比,,
∴两球的体积之比.故选C.
2.B　由题意,可得圆柱的体积为V=πr2h=π×32×4=36π,设该实心铁球的半径为R,则R3=36π,解得R=3.故选B.
3.C　设球的半径为r,则圆柱底面半径为r,高为2r,所以圆柱的表面积S1与球的表面积S2之比为,故选C.
4.D　设圆台上、下底面的半径分别为r',r,母线为l,
由题意可得S侧=π(r'+r)l=35π l=5,
则圆台的高为h==4,
所以圆台的体积为V=h(r2+rr'+r'2)=52π.故选D.
5.B　设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,
∴R=1.∵正方体内接于球,x=2R=2,
∴x=,∴S正=6x2=6=8.
6.B　设底面圆半径为R,米堆高为h.
∵米堆底部弧长为8尺,·2πR=8,∴R=.
∴体积V=·πR2h=5.
∵π≈3,∴V≈(立方尺).∴堆放的米约为≈22(斛).
7.4　设圆柱的高为h,又圆柱的底面半径为1,有2π×1×h=8π,得h=4.
8.　
作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32+3×4+42)×7=.
9.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=r3+πr2l=×13+π×12×3=.
10.解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2=(2+2)π.
11.A　圆
台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).由已知可得上底半径O1A=2,下底半径OB=3.
又腰长为2,
∴高AM=,
∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x,
则由△SAO1∽△SBO可得,解得x=6,
∴截得此圆台的圆锥的母线长为6,可得大圆锥的底面周长为2×3π=6π,小圆锥的底面周长为2×2π=4π,这个圆台的侧面积=大圆锥的侧面积-小圆锥的侧面积=6π×6-4π×(6-2)=10π.故选A.
12.D　设圆锥的高为h,母线为l,底面半径为r,则由题意得h=r,l2sin 60°=3,所以l=2,又l2=h2+r2,则r=2,所以圆锥的侧面积为S=πrl=4.故选D.
13.BD　由题意圆锥体积为V=×32×4=12π,选项A错误;圆锥母线长为l==5,侧面积为S=π×3×5=15π,选项B正确;设圆锥内切球半径为r,则r(5+5+6)=6×4,解得r=,圆锥内切球的体积V=r3=3=,选项C错误;圆锥侧面展开图扇形的圆心角为θ=,选项D正确.故选BD.
14.
ABD　如图所示,设圆台两条母线的交点是S,其中一条母线是AB,圆台的上底面圆的周长为C,因为扇环的圆心角为180°,
所以C=π·SA,又C=10×2π,
所以SA=20,同理SB=40,
故圆台的母线AB=SB-SA=20,
圆台的高h==10,体积V=×10(102+10×20+202)=,表面积S=π(10+20)×20+100π+400π=1 100π,故选ABD.
15.A　
作出圆台的轴截面如图所示,由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.
即G是OF的中点,
∴GE为梯形OCBF的中位线,
∴GE==10(寸).
即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),
∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.
16.　设圆锥底面半径为r,则=2,则r=2,
所以圆锥的体积V=r2×2=.
17.　由于正方体和圆柱等高,故设正方体的棱长和圆柱的高(母线长)都为a,圆柱的底面半径为r,则正方体的侧面面积为4a2,圆柱的侧面面积为2πra.又4a2=2πra,所以r=,所以正方体的体积为V正方体=a3,圆柱的体积为V圆柱=πr2a=,故,即这个正方体和圆柱的体积的比值为.
18.20 cm　224π cm2　设圆锥的母线长为l,底面半径为r.以S为圆心,l为半径的圆的面积为πl2.圆锥的侧面积为πrl=8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,
∴πl2=2.5×8πl,∴l=20(cm).
圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
19.解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.
连接CO1,CE,如图.
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.
∵AB=3,∴O1C=3.
在Rt△SO1C中,SC=2,
∴SO1=.
∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,
∴SE==4.∴球半径R=2.
∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.
20.B　将圆锥侧面沿母线AB剪开,其侧面展开图为扇形,如图,
从点M处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到点B,最短距离即为线段BM长,则有BM=.
而M是线段AB'的中点,又母线长为2,于是得AM2+AB2=5=BM2,即∠BAB'=.
设圆锥底面圆半径为r,从而有2πr=2·,解得r=,
所以圆锥的表面积为S=πr2+πr·AB=.故选B.
21.解设圆锥PO1,圆锥PO的底面圆半径分别为r,R,它们的母线长分别为l1,l2.因为=3=,所以.从而,即R=2r,l2=2l1.所以.
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