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2025人教A版数学必修第二册
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
A级必备知识基础练
1.[探究点二]空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
2.[探究点一·2024山东日照高一检测]下列结论中正确的是(　　)
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;④空间中有四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c.
A.①②③ B.②④
C.③④ D.②③
3.[探究点一·2024河北石家庄高一期末]如图,在长方体AC1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
4.(多选题)[探究点二]下列命题中,错误的有(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
5.[探究点一]如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH是正方形.
6.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画 请说明理由.
B级关键能力提升练
7.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的有(　　)
A.OB∥O1B1且方向相同
B.OB∥O1B1,方向可能不同
C.OB与O1B1不平行
D.OB与O1B1不一定平行
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.GH和MN是平行直线;GH和EF是相交直线
B.GH和MN是平行直线;MN和EF是相交直线
C.GH和MN是相交直线;GH和EF是异面直线
D.GH和EF是异面直线;MN和EF也是异面直线
10.(多选题)如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是(　　)
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
11.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则(　　)
A.PQ=MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
12.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,点F是直线EF与正方形ABB1A1边的交点,则(　　)
A.EF∥D1C
B.EF=a
C.CF=a
D.三棱锥A-EFC的体积为a3
13.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=　　　　　.
C级学科素养创新练
14.
如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:E,F,G,H四点共面.
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
1.D　若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补,所以β为60°或120°,故选D.
2.B　①错误,两条直线可以异面;
②正确;
③错误,这条直线和另一条直线可以相交也可以异面;
④正确.故选B.
3.B　由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1.
因为与棱B1C1平行的棱还有3条,分别为AD,BC,A1D1,所以与EF平行的棱共有4条.
故选B.
4.AC　这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.
5.AC=BD　AC=BD且AC⊥BD　由题意,知EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,
同理EF∥AC∥HG,且EF=HG=AC.
∴四边形EFGH是平行四边形.
要使EFGH为菱形,则需满足EH=FG=EF=HG,即AC=BD.
要使EFGH为正方形,则需满足EH=FG=EF=HG且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.
6.解如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
7.D　如图,∠AOB=∠A1O1B1,OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,但是OB与O1B1不一定平行.故选D.
8.C　如图,
连接AD1,CD1,AC.
因为E,F分别为AD1,CD1的中点,
由三角形的中位线定理知EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH.
故选C.
9.B　
因为GH∥A1B,而A1B∥D1C,所以GH∥D1C.
又MN∥D1C,所以GH∥MN.
由异面直线的定义可知,GH与EF异面.
延长线段EF,MN,二者可以相交,故EF与MN为相交直线.
10.ABC　由三角形中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C正确;对于D,由三角形的中位线定理,知MQ=BD,MQ∥BD,NP=BD,NP∥BD,所以MQ=NP,MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D不正确.
11.BCD　由题意知PQ=DE,且DE≠MN,所以PQ≠MN,故A不正确;
又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.
12.AD　如图,在边AB上取点F,使得BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC.
因为A1E=2EA,所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,
故EF=A1B=a,CF=a,
VA-EFC=VE-AFC=aa×a=a3.
故选AD.
13.m　连接AM并延长交BC于E,连接AN并延长交CD于F,再连接MN,EF,图略,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD.
∴MN∥EF,MN=EF,EF∥BD,EF=BD.
∴MN=BD.∴MN=m.
14.(1)证明
连接BD.
因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD.
又CF∶FB=CG∶GD,
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E,F,G,H四点共面.
(2)解当m=n时,四边形EFGH为平行四边形,
由(1)可知EH∥FG.
因为,所以EH=BD.同理可得FG=BD,由EH=FG,可得,得m=n.故当m=n时,四边形EFGH是平行四边形.
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