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2025人教A版数学必修第二册
8.6.3　平面与平面垂直
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
2.[探究点三]在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于点F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
A.平行
B.EF 平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.垂直
3.[探究点三]设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
B.若m α,n β,m⊥n,则n⊥α
C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
4.[探究点三·2024甘肃天水高一期末]在矩形ABCD中,AB=1,AD=,沿对角线AC将矩形折成一个直二面角B-AC-D,则点B与点D之间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
5.[探究点三]如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　.
6.[探究点三]如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=　　　　　.
7.[探究点二·2024河南洛阳高一期末]在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.
求证:(1)平面PBD⊥平面PAC;
(2)平面PCD⊥平面PAD.
8.[探究点三·2024北京海淀高一质检]如图,四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是平行四边形,E是CD的中点,且AB=BC=AC,若平面PAB⊥平面ABCD,AP⊥BD.
(1)求证:PA⊥平面ABCD.
(2)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE 请说明理由.
9.[探究点一、二]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
B级关键能力提升练
10.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
11.(多选题)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出如下命题,其中正确的是(　　)
A.若α⊥β,α∩β=m,n α,n⊥m,则n⊥β
B.若α⊥β,且n⊥β,n⊥m,则m⊥α
C.若α⊥β,m⊥β,m α,则m∥α
D.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
12.[2024广东深圳高一质检]如图,在四面体ABCD中,AB=AC,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点,则下列判断错误的是(　　)
A.AC⊥BD B.BD⊥平面ABC
C.AB⊥CD D.AO⊥平面BCD
13.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是(　　)
A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
14.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　.
15.[2024四川成都高一月考]如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的中点.
(1)求证:平面EFC⊥平面BCD;
(2)若平面ABD⊥平面BCD,且AD=BD=BC=1,求三棱锥B-ADC的体积.
16.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥PD;
(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;
(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.
C级学科素养创新练
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点.
(1)求证:平面AFD⊥平面PAB.
(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直 若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.
8.6.3　平面与平面垂直
1.A　∵PA⊥平面ABC,BA,CA 平面ABC,
∴BA⊥PA,CA⊥PA,
因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
又∠BAC=90°,故选A.
2.
D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF 平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1,D正确.
3.D　当m α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n α,这时m α,n β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D.
4.C　
过点D在平面ADC内作DO⊥AC,垂足为点O,如图,因为二面角B-AC-D的平面角为90°,所以平面ACD⊥平面ABC.
又平面ACD∩平面ABC=AC,DO 平面ACD,
故DO⊥平面ABC,又OB 平面ABC,所以OD⊥OB.
在Rt△ACD中,AD=,CD=1,AC=2,则∠CAD=30°,∠ACD=60°.
因为DO⊥AC,所以OD=AD=,AO=ADcos 30°=.
在△ABO中,∠BAC=60°,
则OB2=AO2+AB2-2AO·ABcos 60°=+1-,所以OB=,
所以BD=.
故选C.
5.45°　
过A作AO⊥BD于点O,
∵平面ABD⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ADO=45°.
6.　∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC与平面ABC的交线为AC,∠PAC=90°,PA 平面PAC,
∴PA⊥平面ABC,
又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,
∴PB=.
7.证明(1)因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.
又底面四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
又因为PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.因为底面四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD,
又PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD,
所以平面PCD⊥平面PAD.
8.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC=AC=2CE,
∴四边形ABCD是菱形,且AE⊥CD.
∵AB∥CD,∴AE⊥AB.
∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AE 平面ABCD,
∴AE⊥平面PAB,又AP 平面PAB,∴AE⊥AP.
∵AP⊥BD,BD与AE相交,BD,AE 平面ABCD,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解当F为PB的中点时,CF∥平面PAE.理由如下:
取F为PB的中点,G为PA的中点,连接CF,FG,EG,
则FG∥AB,且FG=AB.
∵底面四边形ABCD为菱形,且E为CD的中点,
∴CE∥AB,且CE=AB.
∴FG∥CE,且FG=CE.
∴四边形CEGF是平行四边形,∴CF∥EG.
∵CF 平面PAE,EG 平面PAE,∴CF∥平面PAE.
9.
(1)证明如图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.
又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE 平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB 平面PAB,
所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.
10.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC 平面PAC,∴AC⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
11.AC　根据平面与平面垂直的性质知A正确;B中,m还可能在α内或m∥α或m与α斜交,B不正确;C中,α⊥β,m⊥β,m α时,只可能有m∥α,C正确;D中,m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交,D不正确.故选AC.
12.C　因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,BD 平面BCD,所以BD⊥平面ABC,即B正确;因为AC 平面ABC,所以BD⊥AC,即A正确;因为AB=AC,O为线段BC的中点,所以BC⊥AO,同理可得AO⊥平面BCD,即D正确;因为BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以BD⊥AB,又BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,若AB⊥CD,则AB⊥平面BCD,显然B,O两点不重合,故C错误.故选C.
13.
ABC　如图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,
∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM 平面PMB,∴AD⊥平面PMB,故A正确;
对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;
对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,
在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;
对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.
14.2　取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.
15.证明(1)因为CB=CD,F是BD的中点,
所以BD⊥CF.
因为E,F分别是AB,BD的中点,所以EF∥AD.
因为AD⊥BD,所以BD⊥EF.
因为CF∩EF=F,CF,EF 平面EFC,所以BD⊥平面EFC.
因为BD 平面BCD,所以平面EFC⊥平面BCD.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD,且交线为BD,
CF 平面BCD,CF⊥BD,所以CF⊥平面ABD.
因为AD=BD=BC=CD=1,CF=,
所以V三棱锥B-ADC=V三棱锥C-ABD=S△ABD·CF=1×1.
16.(1)证明连接BD,在△ABC中,∠B=90°.
∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.
又∵PB⊥平面ABC,AC 平面ABC,∴AC⊥PB.
∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,
∵PD 平面PBD,∴EF⊥PD.
(2)解连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD,
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO 平面PBD,∴EF⊥PO.
∵PB⊥平面ABC,BC,AB 平面ABC,
∴PB⊥AB,PB⊥BC.
∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.
∵OF=AC=,∴PF=.
在Rt△FPO中,sin∠FPO=,
∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为.
(3)解过点B作BM⊥PF于点M,连接EM.
∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,
∴AB⊥平面PBC,
∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.
∵PF 平面PBC,∴PF⊥BE.
又PF⊥BM,BE∩BM=B,
∴PF⊥平面BME,
∵EM 平面BME,∴PF⊥EM,
∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角.
在Rt△PBF中,BM=,
∴tan∠BME=.
∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为.
17.(1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA 平面PAC,
∴PA⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD,∴PA⊥AD.
又AB⊥AD,PA∩AB=A,
∴AD⊥平面PAB,又AD 平面AFD,
∴平面AFD⊥平面PAB.
(2)解存在点F,当AF⊥PC时,直线AF与平面PCD垂直.
证明如下:
由AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,得AC=CD=,∴CD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,∵PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.又AF 平面PAC,∴CD⊥AF.
又AF⊥PC,CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD.
在△PAC中,PA=2,AC=, ∠PAC=90°,
∴PC=,AF=,PF=.
∴存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.此时线段PF的长为.
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