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2025人教A版数学必修第一册
习题课　单调性与奇偶性的综合应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点一]设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则f(-2)与f(a2-2a+3)(a∈R)的大小关系是(　　)
A.f(-2)B.f(-2)≥f(a2-2a+3)
C.f(-2)>f(a2-2a+3)
D.与a的取值无关
2.[探究点一]f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　)
A.f(0)f(2)
C.f(-1)f(0)
3.[探究点二]函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
4.[探究点二·2024贵州黔西高一统考期末]已知f(x)是定义域为R的奇函数且对 x1,x2∈R,<0(x1≠x2).若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,则k的取值范围为　　　　　.
5.[探究点二]已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.
若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
B级　关键能力提升练
6.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为(　　)
A.f()>f(-)>f(-1)
B.f()C.f(-)D.f(-1)7.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f(-)=1,则f(x)<1的解集为(　　)
A.(,1)
B.(-1,-)
C.(-1,-)∪(,1)
D.(-1,-]∪[,1)
8.[2024河北石家庄高一月考]若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则不等式<0的解集为(　　)
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于任意不等实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)·(f(x1)-f(x2))<0恒成立,则不等式f(2x)>f(x-1)的解集为(　　)
A.(-)
B.(-∞,-1)∪(,+∞)
C.(-1,)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
10.[2024江西南昌高一期中](多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在区间[-2,0]上单调递减,则下列所给结论中正确的是(　　)
A.f(3)>f(-) B.f(3)C.f()>f(-1) D.f()11.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　.
12.已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x-2)≥0的x的取值范围是　　　　　.(用区间表示)
13.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b的值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
14.已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(-2)=-4,若对任意的m,n∈[-2,2],m≠n,都有>0.若f(2a-1)+f(-a)<0,求实数a的取值范围.
C级　学科素养创新练
15.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b∈R,当a+b≠0时,都有>0.
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;
(2)若f(1+m)+f(2-2m)≥0,求实数m的取值范围.
答案：
1.B　根据题意,f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则f(x)在(0,+∞)上为减函数,又由a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,则f(2)≥f(a2-2a+3),又由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-2)≥f(a2-2a+3).故选B.
2.C　∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1),
又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.
3.D　∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
4.(-∞,-)　因为f(x)是R上的奇函数,且对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),即f(t2-2t)又由<0,得f(x)是减函数,
则有t2-2t>k-2t2恒成立,即3t2-2t>k恒成立,
令g(t)=3t2-2t,t∈R,则k5.解∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),
∴f(1-a)+f(1-a2)<0,则f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴解得0故实数a的取值范围为(0,1).
6.B　∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,
∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,
∴f(-1)>f(-)>f(-)=f().
即f()7.C　∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,
∴f()=f(-)=1,
则不等式f(x)<1等价于f(x)则f(|x|)∵f(x)在[0,1)上单调递减,
∴|x|>,解得x<-或x>.又定义域为(-1,1),故不等式的解集为(-1,-)∪(,1).故选C.
8.B　因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以<0,且x≠0,
因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,
所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=f(2)=0,
当x>0时,则f(x)<0=f(2),故x>2,
当x<0时,则f(x)>0=f(-2),故-2综上,不等式<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选B.
9.C　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|),
所以不等式f(2x)>f(x-1)可变形为f(|2x|)>f(|x-1|).
因为对于任意不等实数x1,x2∈[0,+∞),不等式(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0恒成立,
所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
所以|2x|<|x-1|,解得-110.AC　对于AB,因为f(2+x)=f(2-x),所以f(3)=f(1),又f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),
因为f(x)在区间[-2,0]上单调递减,所以f(-1)>f(-),从而f(3)>f(-),
因此选项A正确,B错误;
对于CD,因为f(2+x)=f(2-x),所以f()=f(),
因为f(x)为偶函数,所以f()=f(-),
因为f(x)在区间[-2,0]上单调递减,所以f(-)>f(-1),所以f()>f(-1),
所以选项C正确,D错误.故选AC.
11.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)　不等式<0可化为f(x)g(x)<0,由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴f(x)g(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式<0的解集是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
12.[,+∞)　由题意f(x)=x|x|,其定义域为R,关于原点对称,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
又f(x)=x|x|=所以函数f(x)在R上单调递增,则f(x)+f(3x-2)≥0,即f(x)≥-f(3x-2)=f(-3x+2),又函数在定义域上单调递增,所以x≥-3x+2,解得x≥.
13.解 (1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0(经检验,符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0,2]上单调递增,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上单调递增.
因为f(m)+f(m-1)>0,所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域内有意义,所以
解得14.解 任取两个实数x1,x2,满足-2≤x1由题意可得f(x1)-f(x2)=(x1-x2)<0,
即f(x1)所以f(x)在定义域[-2,2]上是增函数.
因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以当-2≤x≤2时,f(-x)=-f(x),
所以f(2a-1)+f(-a)<0可化为f(2a-1)<-f(-a),
所以f(2a-1)解得-≤a<1,所以a的取值范围为[-,1).
15.解 (1)因为a>b,所以a-b>0,
由题意得>0,所以f(a)+f(-b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),
所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).
(2)由(1)知f(x)为R上的增函数,因为f(1+m)+f(2-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(2-2m),即f(1+m)≥f(2m-2),所以1+m≥2m-2,所以m≤3.所以实数m的取值范围为(-∞,3].
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