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2025人教A版数学必修第一册
习题课　对数函数及其性质的应用
A级　必备知识基础练
1.[探究点二]函数y=2+log5x(x≥1)的值域为(　　)
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
2.[探究点三]函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域内(　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
3.[探究点三]函数y=lo(-3+4x-x2)的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(2,3)
4.[探究点三·2024广东广州高一期中]已知函数f(x)=lo(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-6] B.[-11,-6]
C.(-11,-6] D.(-∞,-11)
5.[探究点一]不等式log2(x-1)-log4(3x-5)>0的解集为　　　　　　　　.
6.[探究点二]已知函数f(x)=log3(-x2+2x+3),则f(x)的值域是　　　　　　　.
7.[探究点一·2024江苏高一期中]解下列不等式.
(1)lox>lo(4-x);
(2)log3x<1;
(3)logx<1(x>0,且x≠1).
8.[探究点四·2024山东青岛高一期中]已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)的图象过点(,1).
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
B级　关键能力提升练
9.若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图所示,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是(　　)
10.已知函数y=-3log2x+6,在x∈[2,4]上的值域为(　　)
A.[,4] B.[4,6]
C.[,6] D.[,3]
11.已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),则f(x)(　　)
A.是奇函数,且在(0,1)上单调递增
B.是奇函数,且在(0,1)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,1)上单调递增
D.是偶函数,且在(0,1)上单调递减
12.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是　　　　　.
13.(多选题)关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列结论,其中正确的是(　　)
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)单调递增;当x<0时,f(x)单调递减
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
14.[2024江苏徐州高一期中]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x,则f(x)≥-2的解集是　　　　　　　　.
15.已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)16.已知实数x满足-3≤lox≤-,求函数y=的值域.
C级　学科素养创新练
17.(多选题)已知3a=5b=15,则a,b满足下列关系的是(　　)
A.ab>4
B.a+b>4
C.a2+b2<4
D.(a+1)2+(b+1)2>16
答案：
1.C　由x≥1知log5x≥0,所以y≥2,所以值域是[2,+∞).故选C.
2.A　当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;当03.D　由条件可得-3+4x-x2>0,得1设t=-3+4x-x2,易知其图象的对称轴为直线x=2.
∵函数y=lot为减函数,∴函数y=lo(-3+4x-x2)的单调递增区间为函数t=-3+4x-x2在(1,3)上的单调递减区间,
由二次函数性质得单调递减区间为(2,3).故选D.
4.C　因为y=lou在(0,+∞)上单调递减,故由题可知u=3x2-ax+8在[-1,+∞)上单调递增,且3x2-ax+8>0在[-1,+∞)上成立,故要满足-≤-1且3×(-1)2-a×(-1)+8>0,
所以a∈(-11,-6].故选C.
5.(,2)∪(3,+∞)　由题设log2(x-1)-log2>0,即log2(x-1)>log2,
得解得x∈(,2)∪(3,+∞).
6.(-∞,log34]　令t=-x2+2x+3,y=log3t,则t>0,且t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,
∵y=log3t单调递增,∴y=log3t≤log34,
∴f(x)的值域是(-∞,log34].
7.解 (1)由题意可得解得0(2)因为log3x<1=log33,所以0(3)因为logx<1=logxx,
当x>1时,logx当0综上,原不等式的解集为(0,)∪(1,+∞).
8.解 (1)∵函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)的图象过点(,1),∴loga3=1,∴a=3.
又>0,即(1+x)(1-x)>0,解得-1∴f(x)的定义域为(-1,1).
(2)f(x)为奇函数,理由如下:
由(1)知f(x)=log3,且f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
又f(x)+f(-x)=log3+log3=log31=0,即f(x)=-f(-x),∴f(x)为奇函数.
9.D　由f(x)的图象可知010.A　由y=-3log2x+6,x∈[2,4],令t=log2x,则t∈[1,2],
y=t2-3t+6=,所以当t=时,函数取得最小值,当t=1或t=2时,函数取得最大值4,
所以所求函数的值域为[,4].故选A.
11.D　由函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),得解得-112.　由题意可知,f(log4x)<0 -13.ABD　x≠0,且f(-x)=lg=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;
令t==|x|+≥2,当且仅当|x|=1时,取等号,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,
则y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值为lg 2,选项B正确;
当x>0时,令t==x+,易知t=x+的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lg t在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;
根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.故选ABD.
14.[-4,0]∪[,+∞)　当x<0时,-x>0,所以f(-x)=log2(-x).
因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x),
所以当x<0时,f(x)=-log2(-x),
所以f(x)=
要解不等式f(x)≥-2,只需
解得x≥或-4≤x<0或x=0,
故原不等式的解集为[-4,0]∪[,+∞).
15.解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称,
∴f(-x)=-f(x),即lo=-lo=lo,解得a=-1或a=1(舍).
(2)f(x)+lo(x-1)=lo+lo(x-1)=lo(1+x),当x>1时,lo(1+x)<-1,
∵当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)∴m≥-1.∴实数m的取值范围是[-1,+∞).
16.解y==(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.
∵-3≤lox≤-,∴≤log2x≤3.令t=log2x,则t∈,y=t2-3t+2=,
∴当t=时,ymin=-;当t=3时,ymax=2.
故函数的值域为.
17.ABD　由题意知a=log315=1+log35,b=log515=1+log53,
∴=log153+log155=1,即a+b=ab;
∵a+b=2+log35+>2+2=4,
∴a+b=ab>4,故A,B正确;
a2+b2=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ab=(ab-1)2-1>8,故C错误;
(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>16,故D正确.故选ABD.
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