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2024-2025 学年广东省清远市六校高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 22.5°.1 tan222.5°的值是( )
A. 1 12 B. 2 C. 1 D. 1
2.已知 = 1 + ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.在△ 中， = 2 ，则 =( )
A. = 1 2 3 3 B.
= 1 2 3 3
C. = 1 + 2 3 3
D. = 1 3
+ 2 3
4.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则 (1) + (2) + (3) + +
(2025)等于( )
A. 2
B. 0
C. 2 + 2
D. 2 2
5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔 20000 ，速度为 900 / ，飞
行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 80 后又看到山顶的俯角为 75°，则山顶的海拔高度为( )
A. 5000( 3 + 1)
B. 5000( 3 1)
C. 5000(3 3)
D. 5000(5 3)
6 1.已知 cos( + ) = 3， = 2，则 cos( ) =( )
A. 1 B. 19 C.
1
9 D. 1
7.已知 是圆 的弦，且 = 3，则 =( )
A. 32 B.
3 3 3
4 C. 4 D. 2
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8 1.将函数 ( ) = 图象上所有点的横坐标变为原来的 ( > 0)倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点

向左平移3 个单位长度，得到函数 ( )的图象.若 ( )在( , 2 )上没有零点，则 的取值范围是( )
A. (0,1] B. (0, 5 1 2 5 1 2 56 ) C. (0, 3 ) ∪ ( 3 , 6 ) D. (0, 3 ] ∪ [ 3 , 6 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的结论正确的是( )
A. 3 + 2 > 1 +
B.当 = 1 时，复数 = + 1 + ( 1) 是纯虚数
C.若 2 3 是关于 的方程 2 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 14
D.若复数 满足 1 ≤ | | < 2，则复数 对应的点所构成的图形面积为
10.已知平面向量 = (1, 2)， = (4, )，则下列结论正确的有( )
A.若 // ，则 = 8
B.若 ⊥ ，则 = 2
C.若 与 + 的夹角为锐角，则 的取值范围为( ∞, 92 )
D.若 = 2，则 在 + 上的投影向量是(1,0)
11.在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 = ，则△ 一定是等腰三角形
C.若 = 64 , = 2, = 5，则△ 有两解
D.若 = 2, 2 + 2 = 2 33 + 4，则△ 面积的最大值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，则|3 + |的取值范围是______．
13.若 是斜三角形的一个内角，则函数 ( ) = lg( 3 + )的定义域为______．
14 2 .如图，在平面四边形 中，∠ = ，∠ =3 6， ⊥ ， = 4 ，
则 tan∠ = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + (4 2) ( ∈ )， 2 = 2 ( + 4 ) ( , ∈ )．
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(1)若复平面内表示复数 1的点位于第一象限，求 的取值范围；

(2)若 1 = 2，求 的最小值．
16.(本小题 15 分)
已知 ， 是两个不共线的向量．
(1)若| | = 2，| | = 1，向量 + 与 相互垂直，求实数 的值；
(2) 1若向量 与 2
共线，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
0 < < 1 2 2已知 2， 2 < < 0，cos( 4 + ) = 3 , = 3 ．
(1)求 2 的值；
(2)求 的值．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = ( 3 , 3 )， = ( sin( + 6 ), cos( +

6 ))，令 ( ) =
．
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)已知当 ∈ [ 6 , 2 ]时，关于 的方程 ( ) = 0( ∈ )有两个不等实根，求 的取值范围和这两根之
和；
(3)在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ( ) = 1， = 2，求△ 周长 的取值
范围．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 为 边上的中线，点 ， 分别为边 ， 上的动点，
. = 1 2 = + 1交 于点 已知 ，且 2 ．
(1)求 ；
(2)若 cos∠ = 2 77 ，求 cos∠ ；
(3)在(2)的条件下，若 △ = 4 △ ，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[1,5]
13.(0, 2 2 ) ∪ ( 3 , )
14.2 33
15.解：(1)因为复平面内表示复数 1 = + (4 2) ( ∈ )的点位于第一象限，
> 0 > 0
所以 4 2 > 0，解得 2 < < 2，所以 0 < < 2，
所以 的取值范围为(0,2)；
(2)因为 2 = 2 ( + 4 ) ( , ∈ )，

所以 2 = 2 + ( + 4 ) ，

= 2 由 1 = 2，得 4 2 = + 4 ，
消去 得 = 4 4 2 4 = 4 2 4 = 4( 1 )22 1，
当 = 12时， 取得最小值，且 = 1．
16.解：(1)根据题意，若| | = 2，| | = 1，向量 + 与 相互垂直，
2
则( + ) ( ) = 2 2 = 4 2 = 0，
解可得： =± 2，
(2)根据题意，若向量 与 1 共线，不妨设( 2 ) = (
1 2 )，
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即 = 12
，
1 =
1
而 ， 是两个不共线的向量，则有 2 ，解可得 = 2．
=
故 = 2．
17. 3 2 2解：(1)由 0 < < 2，得4 < 4 + < 4，可得 sin( 4 + ) = 1 cos
2( 4 + ) = 3 ．

所以 2 = sin( 2 + 2 ) = 2 (

4 + )cos(

4 + ) = 2 ×
2 2
3 ×
1 = 4 23 9 ；
(2)由(1)的结论，可知 2 = cos2 sin2 = 4 29 ，
cos2 + sin2 = 1 cos2 = 9+4 2 sin2 = 9 4 2结合 ，解得 18 ， 18 ，

因为 0 < < 2，所以 =
4+ 2
6 ， =
4 2
6 ．
由 = 2 23 ， ∈ (

2 , 0)
1
，可得 = 1 cos2 = 3．
cos( ) = + = 4+ 2 × 2 2所以 6 3 +
4 2 1 2
6 × ( 3 ) = 2 ．
因为 0 < < < < 0 2， 2 ，可得 ∈ (0, )，所以 = 4．
18.解：(1)因为向量 = ( 3 , 3 )， = ( sin( + 6 ), cos( +
))，令 ( ) = 6 ，
可得 ( ) = 3 ( + 6 ) + 3 ( +

6 ) = sin[3 ( + 6 )] = sin(2

6 )，
2
可得函数的最小正周期 = 2 = ，
令 2 + 2 ≤ 2

6 ≤

2 + 2 ， ∈

，解得 6 + ≤ ≤

3 + ， ∈ ，
所以函数 ( )的最小正周期为 ；函数的单调递增期间为[ 6 + ,

3 + ]， ∈ ；
(2) 5 当 ∈ [ 6 , 2 ]时，可得 2 6 ∈ [ 2 , 6 ]，
当 2 6 ∈ [
, 5 ] 6 6 ，且 2 6 ≠ 2时， ( ) = 有两个不等的两个根，
且 2 1

6 + (2 2

6 ) =
5
2，可得 1 + 2 = 12，
∈ [ 1 , 1) 5 所以 2 ，且两根之和为12；
(3)在锐角三角形 中，因为 ( ) = 1 sin(2 ，即 6 ) = 1，即 2 6 = 2，
= 可得 3，
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0 < < 2
可得 2 ，可得6 < <0 < = < 2
，
3 2
又因为 = 2，
2 4
由正弦定理可得 = = = 3 = 3，
2
= 4 = 4所以 3 ， 3 ，
所以△ 的周长为 + + = 2 + 43 ( + ) = 2 +
4
3 [ + sin(

3 + )]
= 2 + 4 3 3 3 ( 2 + 2 ) = 2 + 4 ( + 6 )，
因为 + 6 ∈ (
, 2 ) 33 3 ，所以 sin( + 6 ) ∈ ( 2 , 1]，
所以该三角形的周长为(2 + 2 3, 6]．
19.解：(1)由已知 2 = + 12 ，由正弦定理可得 2 =
2 2 + 12 ，
2 2 2
由余弦定理可得啊啊啊啊啊啊啊啊 2 + = 22
2 + 12 ，整理可得
2 = 12 ，即 = 2 ，
因为 = 1，所以 = 2；
(2)因为 为 中点，所以 = 12 (
+ )，设 ， 的夹角为 ，
1
则| | =
2
+
2
2 + 2
= 1 22 +
2 + 2 = 5+4 2 ，
又 = 1 ( + ) = 1
2
2 2 ( +
) = 12 (1 + 2 )，

1(1+2 ) 2 7
所以 cos∠ = 2
| ||
= = ，
| 5+4 7
2
1 13
整理可得 28 2 + 12 13 = 0，解得 = 2或 = 14，
又 cos∠ = 2 7 > 0，所以 7
> 0，1 + 2 > 0，
所以 = 12，所以 cos∠ =
1
2；
(3)由已知可设 = ， = ， = ( , , ∈ [1, + ∞))，
1
2|
|‖ |sin∠ | | |
因为 = 4
|
，所以1 = = = 4， | |‖ |sin∠ | || |2
由 = 1 + 1 可得 2 = + = + ，即 2 2 2 2 ，
由 ， ， 三点共线，得2 + 2 = 1，即 + = 2 ，
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由(2)可得 = | | | |cos∠ = 1，
1 1 1 1
所以 = (
) = 2 ( + ) ( )
1 1 2 1= [ | | | 1 12 |
2 + ( ) ]
8
= 1 ( 4 1 + 1 1 ) = 1 5 2 1
5 1 5 2 8 1
2 + = 4 4 = 4 2+4 = 4 (5
28 )，
+ 2+4
因为 = 4 ≥ 1，所以 ≤ 4，即 ∈ [1,4]，所以
2 + 4 ∈ [5,20]，
7 ≤ 28 ≤ 28 28 ≤ 28 ≤ 7所以5 2+4 5，所以 5 2+4 5，
3 28 18 3 1 28 9
所以 5 ≤ 5 2+4 ≤ 5，所以 20 ≤ 4 (5 2+4 ) ≤ 10，
3 ≤ ≤ 9所以 ，所以 20 10
3 9的取值范围为[ 20 , 10 ]．
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